On calcule l'erreur entre la solution exacte x de (I.0.8) et la solution approchée xh définie par
(I.2.16):
. Dans le cas homogène, on calculera aussi l'erreur entre
la solution exacte u et la solution approchée uh calculée par (I.2.27):
.
Dans le cas non homogène, on peut calculer uh par (I.2.23).
Nous montrerons un calcul effectué à l'aide de la formule (I.2.27) (valable dans le cas homogène) pour montrer les limitations de cette formule.
Explicitons deux calculs d'erreur relative :
Par définition du produit scalaire sur V, on a:
Le premier terme de (I.3.3) est ||x||2V.
Le deuxième terme de (I.3.3) se calcule presque comme .
La différence est que l'on somme sur
et non seulement sur
et que l'on prend
au lieu de
.
On reconnaît que le troisième terme de l'égalité (I.3.3) est
exactement
.
On effectue une inversion du signe somme sur l et du signe intégral sur comme en i). On a alors
Le premier terme de (I.3.4) est
.
Le deuxième terme de (I.3.4) se calcule comme le deuxième terme de (I.3.3),
à la différence que l'on effectue des intégrales sur des surfaces au lieu d'arêtes.
On reconnaît que le troisième terme de l'égalité (I.3.4) est
exactement
où D' est la matrice du produit scalaire des fonctions
(ekl,ekm) sur
.
Conclusion: Le calcul numérique de l'erreur se fait donc sans difficulté supplémentaire par rapport à l'assemblage de la matrice D, et toujours à l'aide d'une formule d'intégration exacte.