I.3.2.1 Calcul numérique de l'erreur.

On calcule l'erreur entre la solution exacte x de (I.0.8) et la solution approchée x_h définie par (I.2.16): $x_h = \sum_{l=1}^{L}{x_{kl} \, z_{kl}}$. Dans le cas homogène, on calculera aussi l'erreur entre la solution exacte u et la solution approchée u_h calculée par (I.2.27): $u_h = \sum_{l=1}^{L}{x_{kl} \, e_{kl}}$. Dans le cas non homogène, on peut calculer u_h par (I.2.23).

Nous montrerons un calcul effectué à l'aide de la formule (I.2.27) (valable dans le cas homogène) pour montrer les limitations de cette formule.

Explicitons deux calculs d'erreur relative :

i)

Calcul de ||x-x_h||_V.

Par définition du produit scalaire sur V, on a:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...x- \sum_{l=1}^{n}{x_{kl} \, z_{kl}}\vert^2}} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.3.2)

En développant le carré du module de (I.3.2) on intervertit le signe somme sur l et le signe intégral sur $\partial \Omega_k$, on obtient l'égalité (I.3.3).

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...\, z_{kl} \overline{ x_{km} \, z_{km} } \ . } } } } \crcr}}\,$$ (I.3.3)

Le premier terme de (I.3.3) est ||x||²_V. Le deuxième terme de (I.3.3) se calcule presque comme $^{\top} b X$. La différence est que l'on somme sur $\partial \Omega_k$ et non seulement sur $\Gamma_k$ et que l'on prend $-\partial_{\nu_k}$ au lieu de $\partial_{\nu_k}$. On reconnaît que le troisième terme de l'égalité (I.3.3) est exactement $^{\top} X D X$.

ii)

Dans le cas homogène, calcul de $\vert\vert u-u_h\vert\vert^2_{L^2(\Omega)}$.

On effectue une inversion du signe somme sur l et du signe intégral sur $\Omega _k$ comme en i). On a alors

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...\, u_{kl} \overline{ x_{km} \, u_{km} } \ . } } } } \crcr}}\,$$ (I.3.4)

Le premier terme de (I.3.4) est $\vert\vert u\vert\vert^2_{L^2(\Omega)}$. Le deuxième terme de (I.3.4) se calcule comme le deuxième terme de (I.3.3), à la différence que l'on effectue des intégrales sur des surfaces au lieu d'arêtes.
On reconnaît que le troisième terme de l'égalité (I.3.4) est exactement $^{\top} X D^{'} X$ où D^' est la matrice du produit scalaire des fonctions (e_kl,e_km) sur $\oplus_{k}{L^2(\Omega_k)}$.

Conclusion: Le calcul numérique de l'erreur se fait donc sans difficulté supplémentaire par rapport à l'assemblage de la matrice D, et toujours à l'aide d'une formule d'intégration exacte.