III.E Déterminant de la matrice D du système linéaire quand h tend vers 0.

L'objectif de ce chapitre est de montrer que les déterminants des matrices hermitiennes (D_k)/h sont non nuls lorsque h le paramètre de discrétisation du maillage tend vers zéro et dés que le nombre de fonctions de base par élément est le nombre minimal, soit

• 3 fonctions pour Helmholtz scalaire bidimensionnel,
• 4 fonctions pour Helmholtz scalaire tridimensionnel,
• 6 fonctions pour Maxwell tridimensionnel.

On montre que le déterminant se découple en un produit d'un terme dépendant uniquement de la géométrie et d'un terme dépendant uniquement du choix des directions de propagation des ondes planes. Pour les problèmes scalaires de Helmholtz discrétisés sur des simplexes, ce résultat est obtenu explicitement en donnant la valeur du terme dépendant de la géométrie. Pour le problème de Maxwell, nous ne calculons pas ce terme, mais nous montrons que ce résultat est obtenu quelle que soit la forme (non dégénérée) des éléments. Cette preuve est aussi applicable aux problèmes de Helmholtz.

Puis, on maximise ce déterminant par rapport au choix des directions de propagation des ondes planes: on montre que des directions équiréparties maximisent le déterminant.

Cela nous permet de majorer le conditionnement des matrices limites D/h lorsque h tend vers zéro. Ceci montre que l'inversion numérique de la matrice D (par une méthode directe, de Cholesky par exemple) est toujours aisée, même si le conditionnement global du système, peut être mauvais: nous n'étudions pas le conditionnement global de la matrice (D-C).

Cette annexe nous permet donc d'initier une réflexion sur le choix des directions des fonctions de base. Une étude plus générale du choix de directions équiréparties (et en quel sens pour les problèmes tridimensionnels) serait une extension intéressante (mais à notre avis difficile) de ce travail.

Les preuves présentées sont très techniques.

Le problème de Helmholtz tridimensionnel utilise des preuves valables dans ${\mathbb{R}}^n$: la difficulté des preuves dans ${\mathbb{R}}^n$ avec n quelconque et dans ${\mathbb{R}}^3$ spécifiquement est du même ordre. Le problème de Helmholtz bidimensionnel utilise des preuves plus simples, dont les arguments sont valables dans ${\mathbb{R}}^2$ et non généralisables pour tout n.