II.10 Résultats numériques pour le problème de Maxwell.

Choix d'un nom pour notre programme Maxwell 3-D. Afin de ne pas systématiquement parler de ``notre code'', nous avons décidé de lui donner un nom. L'histoire de ce nom remonte à une conversation téléphonique avec mon père le jour où je lui ai dit que je pensais avoir fini la partie programmation de ma thèse et surtout que le code était ``débuggé''. Il m'a suggéré de lui donner un nom grec. J'ai tout de suite été enthousiasmé par l'idée et ai pensé l'appeler ``Ariane'' qui est le très joli prénom d'une de mes surs et qui évoque la mythologie grecque dont je suis friand. Malheureusement pour moi, ce nom est déjà utilisé par le consortium européen de construction spatiale. De plus, le lancement de la cinquième fusée de la gamme avait été réalisé avec échec quelques jours auparavant. J'ai alors pensé à Sophie, mon autre sur à prénom antique. La supériorité de Sophie est aussi celle de Scholl et du frère Hans, héroïques opposants au régime nazi pendant la guerre. Mais j'ai pensé que la signification de Sophie avait certainement déjà attiré beaucoup de gens. L'attrait d'un nom grec provient de la base culturelle de notre civilisation, de l'admiration portée à l'antiquité depuis la renaissance par les artistes, de la beauté et du sens de la responsabilité inspirés par l'Illiade, de la puissance de la logique de l'idéologie rationaliste qui tourne les scientifiques vers Socrate en plus de l'évocation naturelle au Pays merveilleux d'Hélène. Il est injuste néanmoins de toujours faire la part belle à cette grande civilisation. Nous oublions toujours les racines celtes dont nos traditions sont issues, nous oublions surtout l'influence majeure de la civilisation et du peuple du Livre. C'est pourquoi j'ai tout naturellement pensé à un nom hébraïque, et pour un code qui traite de la propagation d'ondes et qui est destiné à augmenter les fréquences de résolution des problèmes d'électromagnétisme, il me semble que le nom de ${\mathcal L}ior$ qui signifie ``lumière'' est bien choisi. C'est de surcroît un prénom féminin ou masculin, et je salue tous les ${\mathcal L}ior$.

But du chapitre.

Le but de ce chapitre est de montrer que le code ${\mathcal L}ior$ satisfait les critères suivants.

1. Obtenir des résultats aussi précis que d'autres méthodes classiques de discrétisation.
2. Travailler avec des objets éventuellement revêtus d'une couche de matériau.
3. Prendre en compte des milieux absorbants (caractéristiques électromagnétiques complexes).
4. Fonctionner avec des maillages très grossiers, par exemple pour des paramètres de discrétisation h de l'ordre de la longueur d'onde $\lambda$.
5. Obtenir des résultats comparables (en terme de précision) à une méthode d'éléments finis avec une place mémoire et un temps de calcul du même ordre, mais en utilisant un maillage plus grossier.
6. Travailler indifféremment sur différents types de maillage, en l'occurrence sur des tétraèdres comme sur des hexaèdres, moyennant des coûts d'utilisation différents.

Pour cela, nous avons divisé notre étude en plusieurs sections en observant les points forts et faibles du code ${\mathcal L}ior$ de façon à indiquer son mode optimal d'utilisation.

1. Une section de validation du code ${\mathcal L}ior$ dont le but est de nous convaincre des points 1, 2 et 3 cités précédemment et de l'absence d'erreurs de programmation dans le code ${\mathcal L}ior$.
2. Une section dont le but est de montrer les avantages pratiques du code ${\mathcal L}ior$ par les points 4 et 5. Nous comparerons ${\mathcal L}ior$ à d'autres codes.
3. Une petite étude sur des maillages en tétraèdres ou en hexaèdres. Nous savons que l'utilisation d'hexaèdres est plus coûteuse en place mémoire et en temps de calcul, mais nous ne savions pas ``a priori'' si ces difficultés n'étaient pas compensées par d'autres caractéristiques numériques.