I.5.1.1 Cadre du problème.

Nous étudions la généralisation du problème modèle (I.0.1) au cas de la propagation acoustique plan dans un milieu borné $\Omega$, de frontière $\Gamma$ lipschitzienne, constitué de matériaux aux caractéristiques constantes par morceaux qui définissent le tenseur bidimensionnel $\mu$ et la fonction scalaire $\rho$. On modélise ce phénomène par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...ega \sigma u ) + g & \mbox{ sur } \Gamma \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.1)

où $\sigma$ est une fonction essentiellement bornée et ${{\mathit Q}}$ un opérateur réel de norme strictement inférieure à 1. Les hypothèses physiques sur les fonctions $\mu$, $\rho$ et $\sigma$ sont qu'elles sont supérieurement et inférieurement essentiellement bornées, soit, (au sens matriciel pour $\mu$),

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ..., \cr & \Re{\sigma} \ge \sigma_0 > 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.2)

D'autre part, on suppose que le milieu est dissipatif, soit

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...m{(\mu)} \ge 0 \cr & \Im{\rho} \le 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.3)

Remarquons que pour $\rho=1$, $\sigma=1$ et $\mu=I_2$ la matrice identité du plan, le problème (I.5.1) est le problème de Helmholtz sans coefficient traité dans cette première partie. En effet, l'opérateur ${\nu}^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits$ vérifie alors

$${\nu}^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits = \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \nu} \ .$$

La formulation variationnelle classique est (en posant $\zeta = \sigma \frac{\displaystyle 1- {{\mathit Q}}}{\displaystyle 1+ {{\mathit Q}}}$ avec $\Re{(\zeta)}>0$)

$$%\label{equation.d3dformmodel.007} \left\{ \null\,\vcenter{\o... ...+\int_{\Gamma}{ g \, \overline{ v} } \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.4)

L'hypothèse $\Re{(\mu )} \geq \mu_0$ définie positive signifie que la forme

$$% (u,v) \in [H^{1}(\Omega)]^2 \mapsto \int_{\Omega} { \mathop... ...bf {\nabla }}}\nolimits { \overline{ v}} + u \, \overline{ v}$$ (I.5.5)

est coercive sur $H^{1}(\Omega)$. On montre ensuite que l'opérateur

$$% (u,v) \in [H^{1}(\Omega)]^2 \mapsto -(1+\omega^2) \int_{\Om... ...overline{ v} } +i\omega\int_{\Gamma} \zeta u \, \overline{ v}$$ (I.5.6)

est une perturbation compacte de l'opérateur coercif par l'injection compacte de $H^1(\Omega)$ dans $L^2(\Omega)$ pour $\Omega$ borné ([23]) et par l'injection continue de $H^{1/2}(\Gamma)$ dans $L^2 ( \Gamma)$. Cela nous place dans le cadre de l'alternative de Fredholm. de conclure à l'existence et l'unicité du problème continu.

On utilise alors le fait que $\Re{\sigma} \geq \sigma_0 > 0$ et $\Im{\mu} \geq 0$ et $\Im{\rho} \leq 0$: ceci permet de montrer l'unicité par le théorème de prolongement d'Holmgren.

Par la suite, nous supposerons que $\sigma$ est réel.