II.8.2.3 Particularité avantageuse de l'espace d'approximation.

La section II.7.1.3 montre le découplage des équations de Maxwell dans $\Omega$ et de la condition aux limites absorbante. C'est ce découplage qui a inspiré l'utilisation de polarisations complexes conjuguées présentée dans la section II.8.2.2. Nous allons montrer que si le domaine $\Omega$ est constitué d'un milieu à caractéristiques $\varepsilon$ et $\mu$ réelles et constantes, alors presque la moitié des termes de la matrice du système linéaire sont nuls. Plus précisément,

Lemme 19   Soit une face $\Sigma_{kj}$ telle que $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels et constants entre $\Omega _k$ et $\Omega_j$.

• Si j=k, alors
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ..._{k,k} ^{l,m}=C_{k,k} ^{l+p,m+p} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.32)

  
  

• Si $j \ne k$, alors
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ... C_{k,j}^{l,m+p}=C_{k,j}^{l+p,m} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.33)

  
  

Soit un élément $\Omega _k$ tel que $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels constants entre $\Omega _k$ et tous ses voisins, alors

• 
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ..._{k,k}^{l,m+p} = D_{k,k}^{l+p,m} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.34)