II.7.1.1 Problème physique.

Nous traitons du problème de Maxwell stationnaire dans un domaine tridimensionnel $\Omega$ décrit par la permittivité $\varepsilon$ et la perméabilité $\mu$, fonctions de la fréquence f (ou de la pulsation $\omega = 2 \pi f$) et de la position notée <I>X. Les ondes électromagnétiques décrites par les champs électrique <I>E et magnétique <I>H sont éventuellement perturbées par des termes sources volumiques d'énergie finie, la densité de courant électrique <I>j et la densité de charge magnétique <I>m. Nous formulons en outre les hypothèses suivantes:

1. le milieu de propagation est dissipatif, ce qui, dans la convention qui définit la transformée de Fourier d'une fonction f par $F(k)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{+i\omega t} f(t) d\,t$, s'exprime par
   

   $$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...geq 0 \cr & \Im{(\mu({{\mathbf X}}))} \geq 0 \ , \cr \crcr}}\,$$ (II.7.1)

   
   

2. les fonctions $\varepsilon$ et $\mu$ sont inférieurement bornées: il existe $\varepsilon ^{'}_0 > 0$ et $\mu^{'}_0 > 0$ tels que
   

   $$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...cr & \Re{(\mu({{\mathbf X}}))} \ge \mu^{'}_0 \ . \cr \crcr}}\,$$ (II.7.2)

   
   

Dans le vide, la permittivité $\varepsilon _0$ et la perméabilité $\mu_0$ définissent la célérité ou vitesse de propagation c des ondes électromagnétiques par

$$%\label{equation.m3dformmodth.007} \varepsilon _0 \mu_0 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle c^2} \ .$$ (II.7.3)

Nous pouvons donc définir la permittivité et la perméabilité du milieu relativement au vide, $\varepsilon _r$ et $\mu_r$, par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...splaystyle \mu}{\displaystyle \mu_0} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.4)

Par la suite, nous considérerons toujours les permittivité et perméabilité relatives que nous noterons dorénavant $\varepsilon$ et $\mu$ puisqu'il n'y aura pas risque de confusion. Les caractéristiques du vide seront alors naturellement $\varepsilon =1$ et $\mu=1$.

Sous ces hypothèses, l'onde électromagnétique (<I>E,<I>H) vérifie les équations de Maxwell harmoniques à la pulsation $\omega$ dans le domaine $\Omega$

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...) = 0 & \mbox{ Gauss magn{\'e}tique,} & \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.5)

où les termes sources volumiques <I>m et <I>j vérifient

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\stru... ...p{\nabla .}\nolimits ({{\mathbf j}}) = 0 \cr \crcr}}\, \right.$$

Notons que physiquement, la quantité de charge magnétique <I>m n'existe pas mais nous la gardons pour la symétrie des équations. Nous pouvons définir les quantités suivantes qui sont intrinsèques au milieu de propagation:

1. le nombre d'onde k,
   

   $$% k = \sqrt{\omega^2 \varepsilon _0 \mu_0 \varepsilon \mu} \ ,$$ (II.7.6)

   
   

2. la longueur d'onde $\lambda$,
   

   $$\lambda = \frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle \vert\Re{(k)}\vert} \ ,$$ (II.7.7)

   
   

3. l'indice du milieu n,
   

   $$n = \frac{\displaystyle ck}{\displaystyle \omega} = _{-}^{+}... ...style \varepsilon \mu}{\displaystyle \varepsilon _0\mu_0}} \ ,$$ (II.7.8)

   
   

4. l'impédance relative du milieu Z (ou impédance intrinsèque [55]), de partie réelle positive,
   

   $$Z = \frac{\displaystyle \omega\mu}{\displaystyle k} = \frac{... ...qrt{\frac{\displaystyle \mu}{\displaystyle \varepsilon }} \ .$$ (II.7.9)

   
   

Rappelons que dans un domaine infini le champ électromagnétique (<I>E,<I>H) doit vérifier la condition de radiation de Silver-Müller, condition qui s'écrit pour une position $\vec{r}$ à l'infini (dans un domaine complémentaire d'un borné) dans le vide où $\varepsilon =\mu=1$ (d'après II.7.4):

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...{\displaystyle r} + {{\mathbf H}}\right) = 0 \ . \cr \crcr}}\,$$ (II.7.10)

Le champ à l'infini de la solution du problème (II.7.5) est donné, au premier ordre en r, par

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...b} +O(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2}) \cr \crcr}}\,$$

où a et b ne dépendent pas de r. On a donc, pour $\vec{e}_r=\frac{\displaystyle \vec{r}}{\displaystyle r}$,

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...O(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2}) \ . \cr \crcr}}\,$$

Cette condition, écrite sur une sphère de rayon r en un point où le vecteur $\vec{e}_r$ est la normale $\nu$, donne de façon équivalente

$$\left\vert \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\... ...yle 1}{\displaystyle r^2}) \approx 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$

Notons que cette condition aux limites n'est pas très performante pour approcher le problème infini en domaine borné. Nous ne discuterons pas ce point qui ne fait pas l'objet de notre exposé.

En domaine borné, nous pouvons écrire cette condition aux limites sur une frontière sphérique éloignée du centre du domaine (cf figure II.7.1) de façon à obtenir une condition aux limites absorbante d'ordre le plus faible ([8] ou [30]). Nous généralisons cette condition à tout domaine borné, assez régulier pour pouvoir définir la normale sortante $\nu$ sur son bord extérieur $\Gamma_{\mbox{ext}}$ (que l'on suppose placé dans le vide, comme c'est le cas figure II.7.1), en présence d'un terme de courant de surface g. On obtient la condition aux limites

$$-{{\mathbf E}} \wedge \nu +\left( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu =g \ .$$ (II.7.11)

Nous modélisons la présence d'un obstacle opaque (figure II.7.1) dans le domaine $\Omega$ par la condition sur la trace tangentielle du champ électrique sur le bord intérieur $\Gamma_{\mbox{int}}$,

$${{\mathbf E}} \wedge \nu = g \ ,$$ (II.7.12)

appelée condition de conducteur parfait ou condition sur un objet métallique. Notons aussi la condition aux limites retenue pour les équations intégrales qui modélise la présence d'une couche de matériau de faible épaisseur et de fort indice n (II.7.8) sur un objet métallique,

$$-{{\mathbf E}} \wedge \nu +Z\left( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu =g \ ,$$ (II.7.13)

où $Z \in {\mathbb{C}}$, ($\Re{Z} \ge 0$), est l'impédance de la couche ou l'impédance intrinsèque définie par (II.7.9). Cette condition est appelée condition de Léontovich ou condition d'impédance. En pratique, le terme ``fort indice'' signifie que l'on doit avoir $n \ge 10$ [59].

Figure II.7.1: Problème type en domaine borné.

Toutes ces conditions aux limites peuvent se résumer, en introduisant un opérateur de bord noté ${{\mathit Q}}$ (qui pourra être une simple fonction du bord $\Gamma$ à valeur complexe, ou être constant), de norme strictement inférieure à 1, et à l'aide d'une fonction g terme source d'énergie finie au bord du domaine, par

$$-\vert\sqrt{\varepsilon }\vert {{\mathbf E}} \wedge \nu +\ve... ...ft( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu \right) +g \ .$$ (II.7.14)

où les coefficients $\vert\sqrt{\varepsilon }\vert$ et $\vert\sqrt{\mu}\vert$ sont réels et permettent d'adimensionner les quantités à sommer. Nous retrouvons la condition aux limites de conducteur parfait (II.7.12) pour ${{\mathit Q}}=1$, la condition aux limites absorbante pour ${{\mathit Q}}=0$ dans le vide (II.7.11) ou même sur une frontière dans un milieu non absorbant où $\vert\sqrt{\varepsilon }\vert=\sqrt{\varepsilon }$ et de même pour $\mu$, la condition d'impédance intrinsèque (II.7.13) pour ${{\mathit Q}}=0$ dans un matériau non absorbant, une relation d'impédance quelconque pour

$$Z = \frac{\displaystyle 1-{{\mathit Q}}}{\displaystyle 1+{{\... ...t\sqrt{\mu}\vert}{\displaystyle \vert\sqrt{\varepsilon }\vert}$$

(la transformée de Cayley de Q) dans un matériau absorbant.

Résoudre le problème de Maxwell harmonique en domaine borné signifie donc trouver le couple (<I>E,<I>H) vérifiant à la fois II.7.5 dans $\Omega$ et II.7.14 sur $\Gamma=\partial \Omega$. Notons que dans le vide, les lois II.7.5 deviennent, puisque $\varepsilon =1$ et $\mu=1$,

$$%\label{equation.m3dformmodth.031} \left\{ \null\,\vcenter{\o... ... H}}+i\omega {{\mathbf E}}= {{\mathbf j}}\cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.15)

pour un terme source <I>j de divergence nulle dans $\Omega$ (et <I>m=0, ce qui est une hypothèse physique), et

$$%\label{equation.m3dformmodth.033} \left\{ \null\,\vcenter{\o... ...{\nabla .}\nolimits {{\mathbf H}}= 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.16)

Nous constatons que la relation de Maxwell-Faraday implique la relation de Gauss magnétique. Il en est de même de la relation de Gauss électrique en l'absence de courant et de charges extérieures. Nous reformulons donc le problème de Maxwell dans l'espace des fonctions de divergence nulle dans le vide ( $\varepsilon =\mu=1$) par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...dge \nu \right) +g & \mbox{ sur } \Gamma \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.17)

où les termes sources <I>m et <I>j sont aussi de divergence nulle. En présence de matériau, nous considérerons le cas décrit par la figure type II.7.1 où les coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants par morceaux

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...\nu \right) +g & \mbox{ sur } \Gamma \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.18)

La situation de la figure II.7.1 nous permet de rester dans les espaces de fonctions de divergence nulle par morceaux avec les relations de saut (II.7.19), ou relations de continuité des traces tangentielles des champs, aux interfaces de discontinuité des perméabilité et permittivité entre les deux domaines $\Omega_m$ et $\Omega_v$. Nous supposons que l'interface de discontinuité est assez régulière pour y définir une normale $\nu$.

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ... \mbox{ sur } \Omega_m \cap \Omega_v \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.19)