II.7.2.3 Réciproque, mise en place de la formulation ultra-faible.

Le théorème 14 est la réciproque du théorème 13 assurant l'équivalence, par un relèvement, entre le problème de Maxwell initial (1 p. ) et la formulation ultra-faible correspondante (II.7.69).

Définition 8   On définit ${{\mathcal{D}}}(\Omega,K)$ comme l'espace des fonctions

$$\prod_{k=1}^{K}{{\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k)}$$ (II.7.58)

qui vérifient les relations de continuité des traces tangentielles aux interfaces $\Sigma_{k,j\ne k}$ (II.7.19).

Théorème 14   On suppose que l'hypothèse H4 est vérifiée. Nous supposons que ${{\mathcal{X}}}$ vérifie (II.7.69), c'est-à-dire,

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ..._{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})} \right) }} \cr \crcr}}\,$$ (II.7.59)

pour tout (<I>E^',<I>H^') dont les restrictions à $\Omega _k$ notées $({{\mathbf E}^{'}}_{k},{{\mathbf H}^{'}}_{k}) \in {\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k)$ vérifient

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ..._{k}) & \in L^2_t(\partial \Omega_k) \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.60)

Alors la fonction (<I>E,<I>H) définie par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...) \wedge \nu_{k}) = {{\mathcal{X}}}_k\ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.61)

est solution du problème de Maxwell (1 p. ) dans $\Omega$ entier et est une fonction de ${{\mathcal{D}}}(\Omega,K)$.