I.2.1.2 Remarque sur les notations V et V_h.

La notation V_h est issue de la terminologie des éléments finis (cf [17]) et des hypothèses d'uniforme régularité H1, H2 et H3 faites sur le maillage.

Hypothèse 1   Le bord $\partial{ \Omega_k }$ est Lipschitz-continu,

Hypothèse 2   On définit un "maillage régulier" comme dans [17]. On note h_k le diamètre de $\Omega _k$ et $\rho_k$ le maximum des diamètres des sphères inscrites dans $\Omega _k$. On suppose que le maillage est non dégénéré et que $\rho_k \ne 0$. On peut donc définir

$$\sigma_k = \frac{\displaystyle h_k}{\displaystyle \rho_k} \ ,$$ (I.2.2)

et on suppose qu'il existe $\sigma$ tel que

$$\forall k, \ h_k \leq \sigma \rho_k \ .$$ (I.2.3)

On définit alors le paramètre de raffinement du maillage h par

$$h = \max_{k}{h_k} \ .$$ (I.2.4)

Hypothèse 3   $\Sigma_{kj}$ est une arête commune de $\Omega _k$ et de $\Omega_j$.

Dans la méthode des éléments finis, la donnée du degré des polynômes (les polynômes sont les fonctions de base des éléments finis) et du maillage définit entièrement l'espace d'approximation V_h. Dans notre méthode, la donnée du maillage fait partie de l'étude du problème continu, préliminaire à l'étude du problème discret. La donnée du maillage construit l'espace continu V, mais nous avons encore entière liberté sur le choix des fonctions de base. Nous noterons V_h le sous espace de V construit à l'aide d'un nombre fini de fonctions de base. La notation en indice h exprime donc à la fois la dimension finie et, pour un maillage uniformément régulier, la taille caractéristique du maillage.