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I.2.1.2 Remarque sur les notations V et Vh.

La notation Vh est issue de la terminologie des éléments finis (cf [17]) et des hypothèses d'uniforme régularité H1, H2 et H3 faites sur le maillage.

Hypothèse 1   Le bord $\partial{ \Omega_k }$ est Lipschitz-continu,

Hypothèse 2   On définit un "maillage régulier" comme dans [17]. On note hk le diamètre de $\Omega _k$ et $\rho_k$ le maximum des diamètres des sphères inscrites dans $\Omega _k$. On suppose que le maillage est non dégénéré et que $\rho_k \ne 0$. On peut donc définir
(I.2.2) \begin{displaymath}
\sigma_k = \frac{\displaystyle h_k}{\displaystyle \rho_k} \ ,
\end{displaymath}

et on suppose qu'il existe $\sigma$ tel que
(I.2.3) \begin{displaymath}
\forall k, \ h_k \leq \sigma \rho_k \ .
\end{displaymath}

On définit alors le paramètre de raffinement du maillage h par
(I.2.4) \begin{displaymath}
h = \max_{k}{h_k} \ .
\end{displaymath}

Hypothèse 3   $\Sigma_{kj}$ est une arête commune de $\Omega _k$ et de $\Omega_j$.

Dans la méthode des éléments finis, la donnée du degré des polynômes (les polynômes sont les fonctions de base des éléments finis) et du maillage définit entièrement l'espace d'approximation Vh. Dans notre méthode, la donnée du maillage fait partie de l'étude du problème continu, préliminaire à l'étude du problème discret. La donnée du maillage construit l'espace continu V, mais nous avons encore entière liberté sur le choix des fonctions de base. Nous noterons Vh le sous espace de V construit à l'aide d'un nombre fini de fonctions de base. La notation en indice h exprime donc à la fois la dimension finie et, pour un maillage uniformément régulier, la taille caractéristique du maillage.


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Cessenat Olivier 2007-04-21