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I.3.4.2 Evolution numérique du conditionnement.

Proposons un exemple numérique (figure I.3.8) d'évolution du conditionnement (de D) en fonction du nombre de fonctions de base, ou du paramètre h du maillage, tous les autres paramètres étant fixés (tableau I.3.4) section I.3.2.4.

Figure I.3.8: Inverse du conditionnement, cas limites.
\includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.48\textwidth]{f6c.ps} \includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.48\textwidth]{fm6c.ps}
fonction de 1/h fonction de p

On notera que

  1. Les problèmes de conditionnement n'apparaissent pas pour p=3 fonctions de base.
  2. Le logarithme du conditionnement évolue linéairement en fonction de 2p et de 1/h.
  3. Pour deux fois plus de fonctions de base, le conditionnement est deux fois plus élevé pour le même maillage.
  4. Pour 2p et 2p+1 fonctions de base, le conditionnement n'est que légèrement augmenté, l'ordre semble identique.
  5. La loi d'évolution du conditionnement est proche de la fonction

    q(p) = 2[p/2]-2

    En effet, pour p=6 (courbe I.3.8 de gauche), pour h=1/7 le conditionnement est de $1 \, 000$ et est multiplié par 100 pour $h\approx 1/21$. Ceci nous donne approximativement $q=2\times \log(3)$ soit 4.2, proche de 4. De même, pour p=9 sur la même figure le conditionnement est de $10 \, 000$ pour h=1/4 et est multiplié par $10 \, 000$ pour $h \approx 1/18$. Ceci signifie $q \approx 6.1$, proche de 6.


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Cessenat Olivier 2007-04-21