II.7.1.3 Découplage des équations de Maxwell.

On considère les équations de Maxwell sur le couple (<I>E,<I>H) dans $\Omega$,

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...repsilon {{\mathbf E}}= {{\mathbf j}}\ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.34)

Posons

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...\mathbf E}}-i \sqrt{\mu}{{\mathbf H}}\ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.35)

Un calcul élémentaire montre que le problème (II.7.47) est équivalent à

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...n }{{\mathbf m}}-i\sqrt{\mu}{{\mathbf j}}\cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.36)

avec

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...bf F}})}{\displaystyle 2i\sqrt{\mu}} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.37)

Autrement dit, les champs <I>G et <I>F sont solutions d'équations différentielles découplées.

Dans un matériau réel, la condition aux limites absorbante est

$$% -\sqrt{\varepsilon }({{\mathbf E}} \wedge \nu ) + \sqrt{\mu}(({{\mathbf H}} \wedge \nu ) \wedge \nu ) = g \ .$$ (II.7.38)

Substituons le couple (<I>G,<I>F) au couple (<I>E,<I>H). On obtient, sur $\Gamma$,

$$-\left( {{\mathbf G}} \wedge \nu + {{\mathbf F}} \wedge \nu ... ... \nu - ({{\mathbf F}} \wedge \nu ) \wedge \nu \right) = 2g \ .$$ (II.7.39)

On écrit les composantes de <I>G et <I>F dans un repère orthonormé direct dont le troisième axe est $\nu$,

$$% {{\mathbf G}}= \left( \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\... ... \cr {{\mathbf F}}_2 \cr {{\mathbf F}}_3 \cr \crcr}}\, \right)$$ (II.7.40)

La relation (II.7.52) devient

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...athbf F}}_2) = -2g & \mbox{ sur } \Gamma \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.41)

En multipliant la deuxième équation par i et en sommant avec la première, puis en multipliant la première par i et en sommant avec la deuxième, on a les équations découplées

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...{\mathbf G}}_1 + i{{\mathbf G}}_2=(i+1)g \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.42)

Pour résumer, nous avons à résoudre les systèmes découplés

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...athbf G}}_2=(i+1)g & \mbox{ sur } \Gamma \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.43)

et

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...athbf F}}_2=(1-i)g & \mbox{ sur } \Gamma \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.44)