II.8.1.4 Construction des traces tangentielles des champs.

Nous décrivons comment définir et calculer une approximation des traces tangentielles du champ électromagnétique (<I>E,<I>H) solution du problème de Maxwell stationnaire (1 p. ) à partir de la connaissance de ${{\mathcal{X}}}_h$. Plus précisément

$$\begin{array}{l} ({{\mathbf E}}_h)_{\vert\partial \Omega_k} \... ...Omega_k} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \ . \\ \end{array}$$

Dans cette section, $\Sigma_{k,j}$ sera l'interface entre $\Omega _k$ et $\Omega_j$, avec $k \ne j$, de façon à faire la distinction entre les interfaces du maillage et les faces de bord qui seront toujours notées $\Sigma_{k,k}$.

La continuité aux interfaces de la solution du problème de Maxwell (<I>E,<I>H) nous donne les relations

$$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...edge \nu_{j}) \wedge \nu_{j})_{\vert\Sigma_{jk}} \cr \crcr}}\,$$ (II.8.15)

Or,

$${{\mathcal{X}}}= (\sqrt{\varepsilon _{kj}}{{\mathbf E}}_{k} ... ...rt{\mu_{kj}}({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})$$

et, par définition, sur $\Sigma_{kj}$ (pour $j \ne k$),

$$\Pi {{\mathcal{X}}}= (\sqrt{\varepsilon _{kj}}{{\mathbf E}}_... ...mu_{kj}}({{\mathbf H}}_{j} \wedge \nu_{j}) \wedge \nu_{j})\ .$$

On a donc immédiatement

$$(I+\Pi){{\mathcal{X}}}= 2\sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}) \ .$$

De plus sur $\Sigma _{kk}$ la condition aux limites s'écrit

$$\Pi {{\mathcal{X}}}+g = (-\sqrt{\varepsilon _{kk}}{{\mathbf ... ...hbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})_{\vert\Sigma_{kk}}$$

conduisant à

$$(I+\Pi){{\mathcal{X}}}+g = 2 \sqrt{\mu_{kk}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}) \ .$$

Ainsi, la trace de $({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}$ sur V est liée à ${{\mathcal{X}}}$ par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...thcal{X}}}+g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.16)

et de même la trace ${{\mathbf E}}_{k} \wedge \nu_{k}$ sur V est liée à ${{\mathcal{X}}}$ par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...l{X}}}-g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.17)

Il est donc naturel de définir $({{\mathbf H}}_{k}^h \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}$ sur les arêtes du maillage par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...X}}}_h-g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.18)

et ${{\mathbf E}}_{k}^h \wedge \nu_{k}$ par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...X}}}_h+g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.19)

Nous étudions annexe III.B.2 différentes techniques de calcul des traces des champs approchées <I>E_h et <I>H_h sur le maillage ainsi que le problème de la reconstruction dans $\Omega$ tout entier, problème dont la difficulté dépend de la linéarité de l'opérateur de relèvement E^* (cf (II.7.94)).