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II.8.1.4 Construction des traces tangentielles des champs.

Nous décrivons comment définir et calculer une approximation des traces tangentielles du champ électromagnétique (<I>E,<I>H) solution du problème de Maxwell stationnaire (1 p. [*]) à partir de la connaissance de ${{\mathcal{X}}}_h$. Plus précisément

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
({{\mathbf E}}_h)_{\vert\partial \Omega_k} \...
...Omega_k} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \ . \\
\end{array} \end{displaymath}

Dans cette section, $\Sigma_{k,j}$ sera l'interface entre $\Omega _k$ et $\Omega_j$, avec $k \ne j$, de façon à faire la distinction entre les interfaces du maillage et les faces de bord qui seront toujours notées $\Sigma_{k,k}$.

La continuité aux interfaces de la solution du problème de Maxwell (<I>E,<I>H) nous donne les relations

(II.8.15) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil...
...edge \nu_{j}) \wedge \nu_{j})_{\vert\Sigma_{jk}} \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

Or,

\begin{displaymath}
{{\mathcal{X}}}= (\sqrt{\varepsilon _{kj}}{{\mathbf E}}_{k} ...
...rt{\mu_{kj}}({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})
\end{displaymath}

et, par définition, sur $\Sigma_{kj}$ (pour $j \ne k$),

\begin{displaymath}
\Pi {{\mathcal{X}}}= (\sqrt{\varepsilon _{kj}}{{\mathbf E}}_...
...mu_{kj}}({{\mathbf H}}_{j} \wedge \nu_{j}) \wedge \nu_{j})\ .
\end{displaymath}

On a donc immédiatement

\begin{displaymath}
(I+\Pi){{\mathcal{X}}}= 2\sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}) \ .
\end{displaymath}

De plus sur $\Sigma _{kk}$ la condition aux limites s'écrit

\begin{displaymath}
\Pi {{\mathcal{X}}}+g = (-\sqrt{\varepsilon _{kk}}{{\mathbf ...
...hbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})_{\vert\Sigma_{kk}}
\end{displaymath}

conduisant à

\begin{displaymath}
(I+\Pi){{\mathcal{X}}}+g = 2 \sqrt{\mu_{kk}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}) \ .
\end{displaymath}

Ainsi, la trace de $({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}$ sur V est liée à ${{\mathcal{X}}}$ par
(II.8.16) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...thcal{X}}}+g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

et de même la trace ${{\mathbf E}}_{k} \wedge \nu_{k}$ sur V est liée à ${{\mathcal{X}}}$ par
(II.8.17) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...l{X}}}-g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Il est donc naturel de définir $({{\mathbf H}}_{k}^h \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}$ sur les arêtes du maillage par
(II.8.18) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...X}}}_h-g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

et ${{\mathbf E}}_{k}^h \wedge \nu_{k}$ par
(II.8.19) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...X}}}_h+g] & \mbox{ sur } \Sigma_{kk} \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Nous étudions annexe III.B.2 différentes techniques de calcul des traces des champs approchées <I>Eh et <I>Hh sur le maillage ainsi que le problème de la reconstruction dans $\Omega $ tout entier, problème dont la difficulté dépend de la linéarité de l'opérateur de relèvement E* (cf (II.7.94)).


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Cessenat Olivier 2007-04-21