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I.3.4.1 Majoration théorique du conditionnement.

Dans l'annexe III.E.1, on montrera que pour p=3 fonctions de base par élément, on peut majorer le conditionnement de Dk indépendamment de h. On montrera également que l'équirépartition des ondes planes maximise le déterminant de Dk indépendamment de la géométrie de $\Omega _k$. Nous montrons dans l'annexe III.E.2 que ce résultat se généralise au problème scalaire de Helmholtz dans l'espace ${\mathbb{R}}^3$.

Dans le cas $p\ge 4$, nous avons de plus l'estimation suivante.

Théorème 8   Supposons que les p fonctions de base ($p \geq 4$) vérifient les hypothèses du théorème 7. Nous avons une croissance linéaire (I.3.73) du conditionnement de Dk en fonction de p. Soit hk le diamètre de $\Omega _k$ et $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$. Il existe C positif tel que:
(I.3.23) \begin{displaymath}
\frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaystyle \lambda_{min}} \geq C h_k^{-2[p/2]+2}
\end{displaymath}

soit

\begin{displaymath}
q(p) \ge 2[p/2]-2
\end{displaymath}

Par exemple p=4 ou p=5 donne hk-2 et q(p) = 2.


\begin{proof}
% latex2html id marker 8868Soient $\lambda_{min}$\ la plus petit...
...displaymath}
q(p) \ge 2[p/2]-2 \ .
\end{displaymath}\end{description}\end{proof}

Corollaire 6   Sous les mêmes hypothèses et les mêmes notations que celles des théorèmes 8 et 7, l'ordre du conditionnement de la matrice hermitienne D du système linéaire est minoré par la fonction

2[p/2]-2

lorsque h tend vers zéro et pour p fonctions de base par élément, $p\ge 4$.


\begin{proof}
Ce r{\'e}sultat est trivial sous les hypoth{\\lq e}ses de r{\'e}gular...
...jorations uniformes sur
$\lambda_{\max}(D)$\ et $\lambda_{\min}(D)$.
\end{proof}


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Cessenat Olivier 2007-04-21