I.3.4.1 Majoration théorique du conditionnement.

Dans l'annexe III.E.1, on montrera que pour p=3 fonctions de base par élément, on peut majorer le conditionnement de D_k indépendamment de h. On montrera également que l'équirépartition des ondes planes maximise le déterminant de D_k indépendamment de la géométrie de $\Omega _k$. Nous montrons dans l'annexe III.E.2 que ce résultat se généralise au problème scalaire de Helmholtz dans l'espace ${\mathbb{R}}^3$.

Dans le cas $p\ge 4$, nous avons de plus l'estimation suivante.

Théorème 8   Supposons que les p fonctions de base ($p \geq 4$) vérifient les hypothèses du théorème 7. Nous avons une croissance linéaire (I.3.73) du conditionnement de D_k en fonction de p. Soit h_k le diamètre de $\Omega _k$ et $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$. Il existe C positif tel que:

$$\frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaystyle \lambda_{min}} \geq C h_k^{-2[p/2]+2}$$ (I.3.23)

soit

$$q(p) \ge 2[p/2]-2$$

Par exemple p=4 ou p=5 donne h_k^-2 et q(p) = 2.

Corollaire 6   Sous les mêmes hypothèses et les mêmes notations que celles des théorèmes 8 et 7, l'ordre du conditionnement de la matrice hermitienne D du système linéaire est minoré par la fonction

2[p/2]-2

lorsque h tend vers zéro et pour p fonctions de base par élément, $p\ge 4$.