III.B.1.2 Forme des matrices.

La construction de Galerkin de l'espace de discrétisation implique que la matrice D-C du système linéaire est essentiellement creuse. Nous avons montré, section II.8.2.3, la nullité, dans le vide, de certains des termes des matrices. Nous illustrons ces résultats par l'exemple de la configuration de la figure (III.B.1) qui est un maillage d'une pyramide à base quadrangulaire $\Omega$ en 4 éléments tétraédriques. La figure est une projection du maillage sur le plan de base de la pyramide. Dans cette figure, 2 éléments sont dans le vide où $\varepsilon =\mu=1$. L'existence d'éléments dans le vide entraîne la nullité de certains termes des matrices (lemme 19 p. ). C'est pourquoi nous avons repéré les différents types d'interfaces $\Sigma_{k,j}$ selon les cas suivants.

i)

Cas général où $\Sigma_{k,j}$ est une face entre deux éléments $\Omega _k$ et $\Omega_j$, $\Omega _k$ possédant du matériau, $\Omega_j$ quelconque.

ii)

Cas simplifié où les deux éléments sont placés dans le vide.

iii)

Cas d'une interface ($j \ne k$) telle que $\Omega _k$ soit dans le vide et $\Omega_j$ possède un matériau.

En plus de la réduction de la taille mémoire (remarque 40 p. ), ces différents cas ont une importance pour l'optimisation du calcul numérique (par exemple en utilisant les propriétés de la section III.B.1.3.3).

Figure III.B.1: Exemple de configuration des éléments.

La matrice D est nulle partout sauf sur des blocs diagonaux de taille 2p x 2p. Nous notons D^<I>F,<I>F les termes d'indices $1\le l,m \le p$ correspondant aux produits scalaires des fonctions de type <I>F, D^<I>F,<I>G pour les indices $l\le p$ et $m \ge p+1$ et D^<I>G,<I>G pour $p+1 \le l,m \le 2p$. La forme de la matrice hermitienne D est la suivante:

$$D = \left[ \begin{array}{cccc} \begin{array}{cc} D_1^{{{\mat... ...hbf G}},{{\mathbf G}}} \\ \end{array} \\ \end{array} \right]$$

où la notation D_3,2^<I>F,<I>G (resp. D_4,1^<I>F,<I>G) est la contribution de la face $\Sigma_{4,1}$ entre $\Omega_4$ et $\Omega_1$ (resp. de la face $\Sigma_{3,2}$ entre $\Omega_3$ et $\Omega_2$) au calcul de D₃^<I>F,<I>G (resp. D₄^<I>F,<I>G). On remarque que D₃^<I>F,<I>G=D_3,2^<I>F,<I>G (resp. D₄^<I>F,<I>G=D_4,1^<I>F,<I>G) puisque les contributions des autres faces sont nulles.

De même, la matrice C est de la forme essentiellement creuse suivante

$$C = \left[ \begin{array}{cccc} \begin{array}{cc} C_{1,1}^{{{... ...G}},{{\mathbf F}}} & 0 \\ \end{array} \\ \end{array} \right]$$

On remarque que certains sous-blocs de couplage de fonctions de types différents (couplage des fonctions de type <I>F avec des fonctions de type <I>G ou l'inverse) sont nuls. C'est le cas des sous-blocs C_3,4 et C_4,3, couplages sur une interface dans le vide puisque ces deux éléments sont dans le vide. On remarque que certains sous-blocs de C sont nuls pour des termes de couplage de fonctions de même type (types <I>F ou <I>G). C'est le cas des blocs C_3,3 et C_4,4, couplages sur des faces de bord dans le vide (puisque ces deux éléments sont dans le vide).