II.10.1.1 Présentation des tests.

Les simulations effectuées ont essentiellement porté sur trois types de géométries figurées en II.10.1.

• Le domaine représenté par la figure II.10.1 a) est un cube centré sur l'origine de longueur L.
• Le domaine représenté par la figure II.10.1 b) est un cube centré sur l'origine et d'arête de longueur a placé dans un autre cube plus gros d'arête de longueur b. Le domaine de calcul dans le cas b) est donc le volume compris entre les deux cubes. Nous avons utilisé les cas a=30 centimètres et b=50 centimètres puis a=50 centimètres et b=70 centimètres. Notons que dans les deux cas la frontière artificielle est très proche de l'objet.
• Afin de réaliser des simulations qui sont susceptibles d'être proches de problèmes industriels, nous avons considéré le cas du cône dans un cylindre décrit dans la note technique de Christophe Le Potier [42]. Le cône parfaitement conducteur (impénétrable aux ondes électromagnétiques) d'axe de symétrie de révolution z mesure 1,3 m et le point le plus haut pour z positif est à 0,6 m. La base du cône est un disque de rayon 0,18 m. La frontière bornant le domaine est un cylindre de 2,3 m de hauteur et de rayon 0,4 m, le point le plus élevé du cylindre pour z positif est à 1,4 m. Le cône est éventuellement revêtu de deux couches de matériau. Ces couches sont de 5 centimètres d'épaisseur, l'une est à la pointe du cône pour z>0, l'autre est au culot pour $z\le 0$^II.101.

Figure II.10.1: Exemples de domaines $\Omega$ utilisés.

a) Propagation libre,	b) Diffraction sur un cube,	c) Coupe du cône revêtu.

Nous utiliserons dans cette section les notions de ``scattering'', calcul en ``champ total'' ou en ``champ diffracté'', de conditions de conducteur parfait ou d'absorbant parfait. Ces notions ont déjà été vues pour l'étude du problème de Helmholtz, nous les clarifions pour le problème de Maxwell.

Définition 18 (``scattering'' et propagation libre)   Dans toutes les simulations effectuées, nous considérons le problème de ``scattering'' ou propagation d'une onde plane (que nous appelons onde plane incidente) dans un milieu sans source d'énergie. Le mot ``scattering'' signifie diffraction lorsque l'onde plane incidente rencontre un objet impénétrable aux ondes électromagnétiques. Lorsque le milieu de propagation a des permittivités et perméabilités variables, le terme ``scattering'' signifie diffusion: nous n'employons pas ce terme ambigü que l'on risque de confondre avec d'autres phénomènes physiques. En l'absence de diffraction et de diffusion, nous parlerons de propagation libre dans un milieu homogène.

Définition 19 (champ total)   On appelle ``calcul en champ total'' le problème de Maxwell dans un milieu sans source d'énergie volumique dont la condition aux limites est vérifiée par une onde plane sur la frontière extérieure $\Gamma_{ext} \subset \partial \Omega$ (évidemment non vide). La condition aux limites sur la frontière intérieure $\Gamma_{int}$ de l'objet diffractant (éventuellement vide) est vérifiée par la solution nulle. Le problème se met sous la forme

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\ {{\mathit Q}}_{\vert\Gamma_{ext}} = 0 \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.10.1)

où l'on a

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...t = \vert{{\mathbf E}}_{0}\vert = 1 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.10.2)

Notons que lorsque $\Gamma_{int}=\emptyset$ et $\varepsilon$ et $\mu$ les permittivité et perméabilité sont constantes dans tout le domaine $\Omega$, le couple (<I>E,<I>H) donné par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...lon \mu}({{\mathbf k}_0}{{\mathbf X}})} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.10.3)

est solution du problème II.10.1. C'est ce que nous avons appelé le problème de propagation libre dans un milieu homogène (définition 18). Noter que la solution (II.10.3) est analytique et s'intègre facilement sur des surfaces planes.

Définition 20 (champ diffracté)   On note $(\tilde{{{\mathbf E}}},\tilde{{{\mathbf H}}})$ la solution du problème (II.10.1). Soit

$$({{\mathbf E}},{{\mathbf H}})=(\tilde{{{\mathbf E}}},\tilde{{{\mathbf H}}})-({{\mathbf E}}_0,{{\mathbf H}}_0)$$

où (<I>E₀,<I>H₀) est le champ incident. On dit que (<I>E,<I>H) est le champ diffracté. Dans le cas où les caractéristiques du domaine $\Omega$ sont celles du vide partout (<I>E,<I>H) est la solution du système

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\ {{\mathit Q}}_{\vert\Gamma_{ext}} = 0 \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.10.4)

avec (<I>k₀,<I>E₀) vérifiant les conditions (II.10.2). Cela correspond à supposer que l'onde plane incidente est issue de la frontière intérieure $\Gamma_{int} \subset \partial \Omega$ ( $\Gamma_{int} \ne \emptyset$).

Définition 21 (condition d'absorbant parfait)   La condition d'absorbant parfait correspond à prendre ${{\mathit Q}}=0$ sur la frontière de l'objet $\Gamma_{int}$ dans la condition aux limites (II.7.11), ou de façon équivalente par la condition (II.7.13) pour une impédance Z égale à 1. On a alors

$${{\mathbf E}} \wedge \nu = \left( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu \mbox { sur } \Gamma_{int} \ .$$ (II.10.5)

Définition 22 (condition de conducteur parfait)   La condition de conducteur parfait correspond à prendre ${{\mathit Q}}=1$ sur la frontière de l'objet $\Gamma_{int}$ dans la condition aux limites (II.7.11). On obtient

$${{\mathbf E}} \wedge \nu = 0 \mbox { sur } \Gamma_{int} \ .$$ (II.10.6)

La direction incidente <I>k₀ du problème de ``scattering'' est définie dans un repère sphérique par des angles $\theta$ et $\phi$ qui seront par la suite toujours indiqués dans la convention $e^{-i\vec{k}{{\mathbf X}}}$ en degrés. Les conventions de polarisation, modes TM ou TE, sont aussi indiquées dans la convention $e^{-i\vec{k}{{\mathbf X}}}$. Toutes ces conventions sont clairement expliquées dans [7] par J.L. Bonnefoy. En revanche, les vecteurs directions de propagation et polarisations sont donnés dans la convention utilisée dans le code ${\mathcal L}ior$ soit $e^{+i\vec{k}{{\mathbf X}}}$.

Dans tout ce chapitre on utilise deux types d'approximations des champs, types « G » et « H ».

Définition 23 (Approximation « G » des courants totaux)   C'est l'approximation naturelle des traces tangentielles utilisant la quantité approchée ${{\mathcal{X}}}_h$ des deux côtés d'une interface. Cette approximation est issue des calculs (III.B.62) et (III.B.64) des traces tangentielles de <I>H_h section III.B.2.2 p. . Le courant total J_h, pour un calcul en champ total, est donné par les formules ci-dessous:

sur une face de bord

$\Sigma_{k,k}$,

$$(J_h)_{\vert\Sigma_{k,k}} = -\frac{\displaystyle 1}{\display... ..._{l=1}^{2p} x_{kl} {{\mathcal{Z}}}_{k,l}) \wedge \nu_{k,k} \ ,$$

sur une face intérieure

$\Sigma_{k,j\ne k}$,

$$(J_h)_{\vert\Sigma_{k,j}} = -\frac{\displaystyle 1}{\display... ...mathcal{X}}}_{j,m} {{\mathcal{Z}}}_{j,m}) \wedge \nu_{k,k} \ .$$

Définition 24 (Approximation « H » des courants totaux)   C'est l'approximation valable seulement pour des matériaux à caractéristiques électromagnétiques réelles et un problème de Maxwell homogène. Cette approximation est issue de la formule (III.B.60) des traces tangentielles de <I>H_h section III.B.2.1 p. . Le courant total J_h, pour un calcul en champ total, est donné par la formule

$$(J_h)_{\vert\Sigma_{k,j}} = i\sqrt{\overline{\varepsilon }_{... ...}}^{0}_{k,l} \wedge V_{k,l} \right) \right) \wedge \nu_{k,j} .$$