I.2.3 Solution du système matriciel.

Le système (I.2.17) est résolu en deux étapes:

1. Inversion de D par une méthode directe, ce qui mène au système
   
   $$(I-D^{-1}C) = D^{-1}b \ .$$
   
   

2. Résolution finale grâce à l'algorithme itératif de Richardson, qui s'interprète en l'occurrence comme la version sous-relaxée discrète du développement en série de Neumann de (I-A). Cet algorithme est connu dans le cas général des matrices non symétriques [51] mais semble particulièrement efficace pour le système linéaire présenté ici où les valeurs propres de la matrice M=D^-1C sont dans le disque complexe unité privé de la valeur 1. L'utilisation de l'algorithme itératif de Richardson (I.2.37) est issue des idées de décomposition de domaine (cf [24]). L'algorithme est analogue aux méthodes de Jacobi sous-relaxées.

Notons que la technique d'inversion proposée est naturelle dans les techniques de décomposition de domaine, mais ce n'est évidemment pas la seule possible. On aurait pu étudier l'emploi d'autres algorithmes itératifs comme GMRes [56] ou Bi-CGStab [58] ou même QMR [31] qui sont des méthodes efficaces et robustes de résolution de systèmes linéaires. A ce propos, citons la thèse de L. Crouzet [22] qui étudie en détail ces méthodes pour la résolution des problèmes de Helmholtz et Maxwell à l'aide d'une formulation éléments finis. Nous ne discuterons pas de ces méthodes qui ne sont pas l'objet de notre exposé.