I.3.3.3.2 Estimation sur la frontière de u-u_h.

Lemme 10   Soit ${{\mathit Q}}$ (l'opérateur de bord du problème de Helmholtz (I.0.1)) constant tel que $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq \delta < 1$. Soit $x \in V$ la solution de (I.1.27) et $x_h \in V_h$ la solution de (I.2.1), u la solution de (I.2.22) et u_h défini par (I.2.23). Alors, pour tout réel positif s

$$\mbox{\fbox{$\vert\vert u-u_h\vert\vert _{H^{-s}(\Gamma)} \l... ...e 2\omega}\vert\vert x-x_h\vert\vert _{H^{-s}(\Gamma)} \ . $}}$$ (I.3.15)

Remarque 23   Nous observons numériquement que la majoration (I.3.36) du lemme 10 qui utilise l'approximation (I.2.27) pour u_h n'est pas optimale dans le cadre d'un problème homogène (la figure I.3.4 montre un gain d'environ un demi sur l'ordre de l'erreur sur u à la frontière $\Gamma$ par rapport à l'ordre de l'erreur sur x de la figure I.3.5).

Nous pensons qu'une analyse plus fine devra étudier directement l'opérateur de relèvement linéaire E (I.1.20) et obtenir une majoration directe de l'erreur u-u_h par rapport à l'erreur d'interpolation (I-P^'_h)u où P^'_h sera l'opérateur de projection orthogonale sur les fonctions de base e_k,l permettant d'approcher u_h par $(u_h)_{\Omega_k} = \sum_{l=1}^{p} x_{k,l} e_{k,l}$.

Corollaire 2   Sous les hypothèses du lemme (9), il vient de (I.3.36) et (I.3.28) la majoration suivante en norme $L^2 ( \Gamma)$ de l'erreur sur u par rapport à l'erreur d'interpolation ||(I-P_h)x||_V:

$$% \vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Gamma)} \leq \frac{\displ... ...}{\displaystyle 1-\delta}} \vert\vert(I-P_h)x\vert\vert _V \ .$$ (I.3.16)

Corollaire 3   Sous les hypothèses du théorème (6), il vient de (I.3.36) et (I.3.22) la majoration suivante en norme de Sobolev négatif $H^{-s}(\Gamma)$ pour tout s>1/2 de l'erreur sur u:

$$% \vert\vert u-u_h\vert\vert _{H^{-s}(\Gamma)} \leq \frac{\di... ...\displaystyle \vert\vert\psi\vert\vert _{H^{s}(\Gamma)}}}} \ .$$ (I.3.17)