II.9.1.1.2 Relations de Gauss obtenues à partir des relations de Maxwell pour $N\ge 2$.

Dans le cas général, pour tout N, on déduit de $\mathop{{\mathbf {\nabla}} \wedge}\nolimits {{\mathbf F}}= \omega {{\mathbf F}}$ les $3\times \frac{\displaystyle (N+2)(N+1)N}{\displaystyle 6}$ relations

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...} = \omega {{\mathbf F}}_3^{q_1,q_2,q_3} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.26)

et de $\mathop{\nabla .}\nolimits {{\mathbf F}}= 0$ les $\frac{\displaystyle (N+2)(N+1)N}{\displaystyle 6}$ relations

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...){{\mathbf F}}_3^{q_1,q_2,q_3+1} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.27)

Remarquons que pour $N\ge 2$ et $n \le N-2$, les premières relations du rotationnel s'écrivent aussi

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...(q_2+1){{\mathbf F}}_1^{q_1,q_2+1,q_3+1} \cr \crcr}}\, \right.$$

qui, en faisant la somme des trois équations ci-dessus pour tout $q_1+q_2+q_3=n \le N-2$, impliquent naturellement les $\frac{\displaystyle (N+1)N(N-1)}{\displaystyle 6}$ relations

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...){{\mathbf F}}_3^{q_1,q_2,q_3+1} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.28)