II.9.1.1.1 Etude du noyau de M pour N=1.

Commençons à caractériser le noyau de M pour N=1. Pour N=1, la fonction polynômiale vectorielle approchée <I>F_a est donnée par 12 (ce nombre est donné par la relation (II.9.8) pour N=1) coefficients <I>F_i^{q₁,q₂,q₃} tels que les trois composantes (<I>F₁^a,<I>F₂^a,<I>F₃^a) de <I>F_a vérifient

$$% {{\mathbf F}}_i^a = {{\mathbf F}}_i^{0,0,0} + x_1 {{\mathbf... ...x_2 {{\mathbf F}}_i^{0,1,0} + x_3 {{\mathbf F}}_i^{0,0,1} \ .$$ (II.9.23)

On déduit de $\mathop{{\mathbf {\nabla}} \wedge}\nolimits {{\mathbf F}}= \omega {{\mathbf F}}$ trois relations liant les termes d'ordre zéro aux termes du premier ordre,

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...,0} = \omega {{\mathbf F}}_3^{0,0,0} \ , \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.24)

et de $\mathop{\nabla .}\nolimits {{\mathbf F}}= 0$ une relation sur les termes du premier ordre,

$${{\mathbf F}}_1^{1,0,0} + {{\mathbf F}}_2^{0,1,0} + {{\mathbf F}}_3^{0,0,1} = 0 \ .$$ (II.9.25)

Nous proposons d'ordonner les indices (i,q₁,q₂,q₃) de façon à ce que le vecteur [<I>F] s'écrive sous la forme ci-dessous. Remarquons que cette écriture définit une fonction Q pour le cas N=1 (par (II.9.22)).

On considère alors la matrice P décrite ci-dessous. On a noté $\delta=-1$ pour une raison technique de mise en page. Les quatre premières lignes de la matrice P sont la réécriture matricielle (dans l'ordre) des quatre relations (II.9.24) et (II.9.25). Ceci se traduit par P [F] = [F_r] où les quatre premières lignes de [F_r] sont nulles. La matrice P est triangulaire supérieure inversible.

$$P = \left[ \begin{array}{llllllllllll} \omega & 0 & 0 & 0 & 0... ...^{0,1,0} \\ {{\mathbf F}}_{3}^{0,0,1} \\ \end{array} \right]$$

La matrice M, dont le terme général est donné par (II.9.21), est maintenant ordonnée puisque Q est construit en même temps que le vecteur [<I>F_a] (II.9.22) donné ci-dessus. Nous écrivons la matrice M en donnant sa colonne d'indice l, puis la colonne d'indice l de la matrice PM:

$$[M]_l = \left[ \begin{array}{l} {{\mathbf F}}_{l,1}^{0,0,0} \... ...0,1,0} \\ {{\mathbf F}}_{l,3}^{0,0,1} \\ \end{array} \right]$$

Les quatre premières lignes de la matrice PM sont nulles puisque les fonctions <I>F_l vérifient les relations (II.9.10) et donc les trois conditions de la forme (II.9.24) pour les conditions de rotationnel (ou équations de Maxwell) et la condition de la forme (II.9.25) pour la condition de divergence (ou relation de Gauss).

Pour conclure, nous avons montré que

$$dim(Ker(M)) = dim(Ker(PM)) \ge 4 \ ,$$

ou, de façon équivalente puisque PM a 12-4=8 lignes non nulles et p colonnes, que

$$rang(M) = rang(PM) \le \min(8,p) \ .$$

Remarquons que pour N=1, on a $1=\frac{(N+1)N}{2}$ relation de Gauss, $3=\frac{(N+2)(N+1)N}{2}$ relations de Maxwell et que le rang de M est inférieur à 8=(N+1)(N+3).