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II.9.1.2.4 Etude de l'existence d'un sous-espace libre de M de taille (N+1)(N+3).

Dans le cas général, la matrice PM étudiée est
(II.9.43) \begin{displaymath}%
\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\st...
...e (V^{l}_3)^{q_3}}{\displaystyle {q_3}!} \cr
\crcr}}\, \right.
\end{displaymath}

de taille

\begin{displaymath}
2\times\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}+3\times ...
...yle (N+1)N}{\displaystyle 2} \right) = (N+1)N + 3 \times (N+1)
\end{displaymath}

En exprimant <I>Eil et Vli en fonctions de $\theta_{l}$ et $\phi_{l}$ (d'après les relations II.9.35), on a le système défini
  1. pour q1+q2+q3 = N-1, par
    (II.9.44) \begin{displaymath}
\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...phi_{l}})^{q_2} (\sin{\theta_{l}})^{q_3} \cr
\crcr}}\, \right.
\end{displaymath}

  2. et pour q2+q3 = N, par
    (II.9.45) \begin{displaymath}
\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...{l}})^{q_2} (\sin{\theta_{l}})^{q_3} \ . \cr
\crcr}}\, \right.
\end{displaymath}

Nous allons démontrer l'existence de p=(N+1)(N+3) couples $(\theta_{l},\phi_{l})$ tels que la matrice PM, dont les lignes sont données par (II.9.44) et (II.9.45), soit inversible.

Pour cela, il suffit de montrer les deux conjectures suivantes.

  1. Le déterminant d'une matrice dont le terme générique est fi(xj) où les fonctions fi sont linéairement indépendantes n'est pas nul partout. Si les fonctions fi sont continues et libres sur tout intervalle, l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_n)$ annulant le déterminant est de mesure nulle. Ceci fait l'objet du lemme 22.
  2. Les fonctions construisant la matrice sont linéairement indépendantes sur $(\theta,\phi)$ dans tout sous domaine de mesure non nulle de $[0\ldots \pi]\times[-\pi\ldots \pi]$. Ceci fait l'objet du lemme 23.

Lemme 22   Soit $(f_i)_{i=1\ldots I}$ une famille de fonctions continues et linéairement indépendantes de $\Omega $ un ouvert de mesure non nulle de ${\mathbb{R}}^{k}$, $k\in{\mathbb{N}}, k\ne 0$ dans ${\mathbb{C}}$. Alors, il existe une famille $({{\mathbf X}}_j)_{j=1\ldots I} \in \Omega^I$ telle que la matrice $M=(M_{i,j})_{1\le i,j \le I}$ définie par Mi,j = fi(<I>Xj) soit inversible. L'ensemble $({{\mathbf X}}_j)_{j=1\ldots I} \in \Omega^I$ tel que $det(M)\ne 0$ est de mesure non nulle. Si la famille est libre sur tout compact de $\Omega $, alors l'ensemble $({{\mathbf X}}_j)_{j=1\ldots I} \in \Omega^I$ tel que det(M)=0 est de mesure nulle.


\begin{proof}
La preuve est effectu{\'e}e par r{\'e}currence et par l'absurde. S...
...rminant non nul (r{\'e}sultat classique des applications continues).
\end{proof}

Nous avons montré l'indépendance linéaire des fonctions de $(\theta_{l},\phi_{l})$ que sont les fonctions (II.9.44) et (II.9.45) dans les cas particuliers N=1 et N=2. Le but était d'en ``intuiter'' un raisonnement général. Ces preuves sont extrêmement calculatoires et consistent à développer les expressions en $\sin^2$ en fonction de $1-\cos^2$ puis par des multiplications par des matrices inversibles à faire apparaître que les fonctions utilisées sont des combinaisons linéaires de fonctions libres utilisées une seule fois dans tous les termes. Ces preuves sont longues à faire: pour N=1 on obtient 8 fonctions, pour N=2 on obtient 15 fonctions. Nous ne donnons pas ces preuves: trop explicites, elles n'ont pas fait se dégager un raisonnement valable pour tout N.

Après une longue recherche, essayant des raisonnements par récurrence ou par l'absurde ou recherchant les points communs avec Helmholtz bi ou tridimensionnel, nous avons réussi à montrer le lemme 23 par les trois étapes que sont les sous-lemmes 24, 25 et 26.

Lemme 23   A l'aide des fonctions
(II.9.46) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...\sin{\phi} -i \cos{\phi} \cr
w & = -\cos{\theta} \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

on définit
  1. les $2\times \frac{\displaystyle (N+1)(N+2)}{\displaystyle 2}$ fonctions données par
    (II.9.47) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...})^{q_1} (\sin{\phi})^{q_2} (\sin{\theta})^{q_3} \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

    pour q1+q2+q3 = N,
  2. puis les (N+1) fonctions données par
    (II.9.48) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...})^{q_1} (\sin{\phi})^{q_2} (\sin{\theta})^{q_3} \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

    pour q2+q3 = N.
Alors, les (N+1)(N+3) fonctions de $(\theta,\phi) \in [0\ldots \pi]\times[-\pi\ldots \pi]$ définies par (II.9.47) et (II.9.48) sont linéairement indépendantes (sur tout ouvert de mesure non nulle de $[0\ldots \pi]\times[-\pi\ldots \pi]$).

Remarque 43   Remarquons qu'il est essentiel de ne pas rajouter la famille g3(q1,q2,q3) pour $q_1\ne 0$. En effet, on déduit de

\begin{displaymath}
u \cos{\theta}\cos{\phi} + v \cos{\theta}\sin{\phi} + w \sin{\theta} = 0
\end{displaymath}

que
(II.9.49) \begin{displaymath}
\left\vert \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\...
..._2+1,q_3) + g_{3}(q_1+1,q_2,q_3) = 0 \ . \cr
\crcr}}\, \right.
\end{displaymath}

Lemme 24   La famille décrite par (II.9.47) et (II.9.48) est une sous famille de la famille décrite par (II.9.47) pour N+1. L'espace vectoriel engendré par la famille (II.9.47) est le même que celui engendré par la famille
(II.9.50) \begin{displaymath}
\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
... (\sin{\phi})^{q_2} (\sin{\theta})^{q_3} \cr
\crcr}}\, \right. \end{displaymath}

avec

\begin{displaymath}\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$\...
...r
v & = \sin{\theta}\sin{\phi} -i \cos{\phi} \ . \cr
\crcr}}\, \end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 29910
Supposons l'existence de $(N+1)(N+3...
...ture.007}). Ceci montre la relation (\ref{conjecture.011}) du lemme.
\end{proof}

Lemme 25   La famille f1 décrite par (II.9.50) est libre. Il en est de même de la famille f2 (et de la famille g2).


\begin{proof}
% latex2html id marker 30000
Supposons qu'il existe $\frac{\disp...
... Il en est {\'e}videmment de m{\^e}me pour les deux autres
familles.
\end{proof}


\begin{proof}
% latex2html id marker 30087
{\bf [du lemme \ref{conjecture.m3dord...
...eft( [f_2] \times <f_1>_{(q_1,q_2,q_3)} \right) \ .
\end{displaymath}\end{proof}

Lemme 26   Aucune fonction f1(r1,r2,r3) pour r1+r2+r3=N n'est dans l'espace vectoriel [f2].


\begin{proof}
% latex2html id marker 30118Montrons qu'il est impossible de tro...
...e coefficient de ce polyn{\^o}me doit donc {\^e}tre nul, soit $4=0$.
\end{proof}

\begin{proof}
% latex2html id marker 30237
{\bf [de la proposition \ref{proposit...
...ation par $(1+x^2)^3(1+y^2)^3$\ pour obtenir (\ref{conjecture.035}).
\end{proof}


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Cessenat Olivier 2007-04-21