II.9.1.2.1 Etude de la dimension de M pour N=0.

Nous cherchons à caractériser le rang de la matrice M dans le cas N=0 et à établir la condition sur le choix des fonctions de base pour que le système (II.9.20) admette une solution.

Pour N=0 et pour p=3 fonctions <I>F_l la matrice M est la matrice carrée des polarisations: M_m,l = <I>F_l,m, soit d'après (II.9.36) la matrice M_m,l = <I>E^l_m. Dans une base orthonormée directe bien choisie (cf annexe (III.E.3)), cette matrice est de la forme

$$M = \left[ \begin{array}{lll} \sin{(\theta)}\cos{(\phi)} +i\... ...- \cos{(\theta)} & -i\sin{(\zeta)} & 0 \\ \end{array} \right]$$ (II.9.39)

où les angles $(\zeta,\theta,\phi)$ définissent les trois vecteurs polarisations <I>E¹,<I>E²,<I>E³:

$$% \left[ \begin{array}{l} \cos{(\theta)}\cos{(\phi)} \\ \cos... ...\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right] \ .$$ (II.9.40)

Le déterminant de (II.9.39) est nul si et seulement si

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...zeta}\cos{\theta} + \cos{\theta} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.41)

Nous allons montrer que M est inversible si et seulement les trois directions de propagation V¹,V²,V³ (II.9.35) sont distinctes deux à deux. Pour cela, étudions la contraposée, c'est-à-dire les conditions pour que les relations (II.9.41) soient vérifiées simultanément.

1. Si $\sin{\zeta}=0$ alors si $\cos{\zeta}=1$ les vecteurs 2 et 3 de directions de propagation sont égaux. Si $\cos{\zeta}=-1$ alors $\cos{\theta}=0$ qui implique que les vecteurs 1 et 2 ou 3 sont égaux.
2. Si $\sin{\theta}=1$ alors $\cos{\theta}=0$ et les vecteurs 1 et 3 de directions de propagation sont égaux.
3. Si $\sin{\phi}=0$ alors si $\cos{\phi}=1$ , on a
   
   $$\cos{\theta} - \sin{\zeta} = \cos{(\theta+\zeta)}$$
   
   
   et si $\cos{\phi}=-1$,
   
   $$\cos{\theta} + \sin{\zeta} = \cos{(\theta-\zeta)}$$
   
   
   La fonction $f(\theta,\zeta)=\cos{(\theta-\zeta)}-\cos{\theta}-\sin{\zeta}$ est une fonction de signe constant. On pose $\psi=\pi/2 - \zeta$, alors
   
   $$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...) = \sin{(\theta+\psi)} -\cos{\theta}-\cos{\psi} \cr \crcr}}\,$$
   
   
   En posant $t=\tan(\theta/2)$ et $q=\tan(\psi/2)$, on a
   
   $$f(\theta,\zeta) = 2 \frac{\displaystyle (q-1)(t-1)(qt-1)}{\displaystyle (1+q^2)(1+t^2)}$$
   
   
   Le cas q=1 signifie $\sin{\theta}=1$ qui est exclu dans la situation précédente. De même pour t=1. Le cas qt=1 signifie $\cos{\frac{(\theta+\pi/2 - \zeta)}{2}}=0$ soit $\cos{(\theta-\zeta)}=0$ et puisque $f(\theta,\zeta)=0$ on a $\cos{\theta} = -\sin{\zeta}$ et $\sin{\zeta} (\sin{\theta}-\cos{\zeta})=0$. Le cas $\sin{\zeta}=0$ est déjà traité, le cas $\sin{\theta}-\cos{\zeta}=0$ impliquerait que les vecteurs 1 et 2 soient égaux.

Le résumé de l'étude de l'image de M pour N=0 est donné dans la

Proposition 15   Dans le cas N=0, la matrice M constituée de

$$3\frac{\displaystyle (N+3)(N+2)(N+1)}{\displaystyle 6} = (N+1)(N+3) = 3$$

lignes et de

p=3

colonnes est inversible si et seulement si les trois directions de propagations des ondes planes choisies sont distinctes deux à deux.