II.9.1.1.3 Etude du cas général, construction d'un noyau de la matrice M.

Nous allons montrer l'indépendance des $3\times \frac{\displaystyle (N+2)(N+1)N}{\displaystyle 6}$ relations

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...} = \omega {{\mathbf F}}_3^{q_1,q_2,q_3} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.29)

et des $\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}$ relations

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...){{\mathbf F}}_3^{q_1,q_2,q_3+1} = 0 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.30)

Remarquons que si l'on ordonne le vecteur <I>F_i^{q₁,q₂,q₃} par blocs croissants en fonction de q₁+q₂+q₃, puis en sous-blocs croissants en fonction de i, puis encore en sous-sous-blocs décroissants en fonction de q₁, nous pourrons faire apparaître les relations (II.9.29) et (II.9.30) sous une forme triangulaire supérieure comme dans le cas N=1 à l'aide d'une matrice P.

Notons qu'une fonction Q vérifiant ce rangement n'est pas unique, puisqu'on a toute liberté d'ordonner les derniers blocs en fonction de q₂ ou en fonction de q₃. Nous avons choisi de ranger ces derniers blocs de façon décroissante en fonction de q₂ (c'est-à-dire de façon croissante avec q₃ puisque le bloc à ranger est donné pour q₁ et q₁+q₂+q₃ fixé).

La donnée de la fonction Q nous permet d'expliciter entièrement la matrice M, dont le terme M_m,l (où m est l'indice de ligne et l de colonne) est donné par (II.9.21) avec m=Q(i,q₁,q₂,q₃). On vérifie que la fonction Q définie ci-dessous dans la Définition 17 correspond bien à un tel rangement.

Définition 17 (Fonction bijective Q)  

1. Le premier terme est Q(1,0,0,0)=1.
2. Pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ tel que $1 \le n \le N$, on a la relation de récurrence
   
   Q(1,n,0,0)=Q(1,n-1,0,0)+3*C_n+1²
   
   
   croissante en fonction de n.
3. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $n \le N$, et pour $2\le i\le 3$, on a la relation de récurrence
   
   Q(i,n,0,0)=Q(i-1,n,0,0)+C_n+1²
   
   
   croissante en fonction de i.
4. Pour tout $(q_1,q_2)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $q_1+q_2 \le N$, $1\le q_1$ et $q_2\le N-1$, et pour $1\le i \le 3$, on a la relation de récurrence
   
   Q(i,q₁-1,q₂+1,0)=Q(i,q₁,q₂,0)+(q₂+1)
   
   
   décroissante en fonction de q₁.
5. Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $q_1+q_2+q_3 \le N$, $1\le q_2$ et $q_3 \le N-1$, et pour $1\le i \le 3$, on a la relation de récurrence
   
   Q(i,q₁,q₂-1,q₃+1)=Q(i,q₁,q₂,q₃)+1
   
   
   décroissante en fonction de q₂, croissante en fonction de q₃.

Remarque 40   On déduit de la définition de Q les relations de récurrence supplémentaires ci-dessous.

• Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $q_1+q_2+q_3 \le N$, $i\ge 1$, et pour $2\le i\le 3$, on a la relation de récurrence
  
  Q(i,q₁,q₂,q₃)=Q(i-1,q₁,q₂,q₃)+C_n+1²
  
  
  croissante en fonction de i.
• Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $q_1+q_2+q_3 \le N$, $1\le q_1$ et $q_2\le N-1$, et pour $1\le i \le 3$, on a la relation de récurrence
  
  Q(i,q₁-1,q₂+1,q₃)=Q(i,q₁,q₂,q₃)+(q₂+q₃+1)
  
  
  décroissante en fonction de q₁.

Remarque 41   On déduit de la définition de Q les relations d'ordre ci-dessous.

• Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$, $(s_1,s_2,s_3)\in {\mathbb{N}}^3$ et tout $1\le i,j\le 3$, on a la relation d'ordre
  

  $$q_1+q_2+q_3 \ge s_1+s_2+s_3 \Rightarrow Q(i,q_1,q_2,q_3) \ge Q(j,s_1,s_2,s_3) \ .$$ (II.9.31)

  
  

• Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ et $(s_1,s_2,s_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tels que q₁+q₂+q₃ = s₁+s₂+s₃, alors on a la relation d'ordre
  

  $$i \ge j \Rightarrow Q(i,q_1,q_2,q_3) \ge Q(j,s_1,s_2,s_3) \ .$$ (II.9.32)

  
  

• Pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ et $(s_1,s_2,s_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tels que q₁+q₂+q₃ = s₁+s₂+s₃, et pour $1\le i \le 3$, on a la relation d'ordre
  

  $$q_1 \ge s_1 \Rightarrow Q(i,q_1,q_2,q_3) \le Q(i,s_1,s_2,s_3) \ .$$ (II.9.33)

  
  

On définit alors la matrice P comme dans le cas N=1.

1. La matrice P est non nulle sur la diagonale. La diagonale est ordonnée en quatre blocs croissants. Le bloc a) est constitué de $3\times \frac{\displaystyle (N+2)(N+1)(N)}{\displaystyle 6}$ termes qui correspondent aux équations du rotationnel. Le bloc b) est constitué de $\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}$ termes qui correspondent aux équations de divergence. Les blocs c) et d) sont constitués des (N+1)(N+3) termes manquant pour compléter la matrice P de façon à ce qu'aucun terme de la diagonale ne soit nul. Le bloc c) est constitué de $2\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}$ termes et le bloc d) de $3(N+1) = 3\times \left( \frac{\displaystyle (N+2)(N+1)}{\displaystyle 2} - \frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2} \right)$ termes. Nous présentons la diagonale de P sous deux formes,
   
   $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ... k=Q(i,0,q_2,q_3) \Rightarrow P(k,k) = 1 \cr \crcr}}\, \right.$$
   
   
   et, pour k=Q(i,q₁,q₂,q₃), toujours sous la forme croissante (d'après la remarque 42),
   
   $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...= N, q_1 = 0, \Rightarrow P(k,k) = 1 \ . \cr \crcr}}\, \right.$$
   
   
   On vérifie que les termes des blocs ci-dessus sont bien ordonnés de façon croissante d'après la remarque 42. En particulier, les termes du bloc c) sont rangés avant les termes du bloc d) d'après la relation (II.9.33).
2. La matrice P est non nulle sur une partie supérieure correspondant aux équations du rotationnel. On note
   
   $$j \equiv i \iff j-1=i-1 \mbox{ modulo } 3$$
   
   
   ce qui nous permet de prendre, comme représentants de la classe d'équivalence définie par ``modulo 3'', non pas {0,1,2} mais {1,2,3}. Alors, pour $1\le i \le 3$ et pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $q_1+q_2+q_3 \le N-1$, on a
   
   $$P(k,m) = -(q_b+1) \mbox{ avec } \left\{ \null\,\vcenter{\open... ...r & j\equiv i+1 \mbox{ et } b \equiv i+2 \cr \crcr}}\, \right.$$
   
   
   et
   
   $$P(k,m) = +(q_b+1) \mbox{ avec } \left\{ \null\,\vcenter{\open... ...r & b\equiv i+1 \mbox{ et } j \equiv i+2 \cr \crcr}}\, \right.$$
   
   
   où l'on vérifie que $m\ge k$ puisque les termes sont rangés en fonction croissante de q₁+q₂+q₃ (cf (II.9.31)).
3. La matrice P est non nulle sur une partie supérieure correspondant aux équations de divergence. Pour tout $1 < j \le 3$ et pour tout $(q_1,q_2,q_3)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que q₁+q₂+q₃ = N-1, on a
   
   $$P(k,m) = (q_j+1) \mbox{ avec } \left\{ \null\,\vcenter{\openu... ...j,q_1,q_2+\delta_{2,j},q_3+\delta_{3,j}) \cr \crcr}}\, \right.$$
   
   
   où l'on vérifie que $m\ge k$. En effet, pour q₁+q₂+q₃ fixé, on range les termes en fonction de i, et on a ici j>i (cf (II.9.32)).
4. Les autres termes de la matrice P sont tous nuls.

La matrice P est triangulaire supérieure de diagonale non nulle: son déterminant est égal à

$$\left(\omega^{\frac{\displaystyle (N+2)(N+1)(N)}{\displaysty... ...right)\times \left(\prod_{q_1=0}^{N-1}{(q_1+1)^{N-q_1}}\right)$$

et est donc non nul si et seulement si $\omega \ne 0$. P est donc inversible.

Le produit P[<I>F] est le vecteur dont les

$$3\times \frac{\displaystyle (N+2)(N+1)(N)}{\displaystyle 6}+\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}$$

premières lignes sont nulles.

Il en est de même de la matrice dont la l-ième colonne est [<I>F_l] puisque les fonctions de base vérifient les relations sur le rotationnel et la divergence.

On a donc

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\stru... ...isplaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$

De façon équivalente, puisque la matrice PM a

$$3\frac{\displaystyle (N+3)(N+2)(N+1)}{\displaystyle 6}-3\fra... ...yle 6}-\frac{\displaystyle (N+1)N}{\displaystyle 2}=(N+1)(N+3)$$

lignes non nulles et p colonnes, on a le lemme suivant.

Lemme 21   Le rang de la matrice M, noté rang(M), vérifie

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\stru... ...r & rang(M) \le \min{[(N+1)(N+3),p]} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$