II.9.1.2.2 Un contre-exemple inattendu dans le cas N=1.

Dans le cas N=1 et p=8 fonctions <I>F_l, la matrice PM vaut, après un ré-ordonnancement des lignes,

$$% \left[ \begin{array}{l} {{\mathbf E}}^{l}_3 V^{l}_3 \\ {{\... ...^{l}_3 \\ {{\mathbf E}}^{l}_1 V^{l}_2 \\ \end{array} \right]$$ (II.9.42)

pour V^l et <I>E^l donnés par (II.9.35).

La configuration équirépartie sur la sphère unité, soit pour m de 1 à 4, $\theta_{2m+1}=\pi/4$, $\theta_{2m+2}=-\pi/4$ et $\phi_{2m+1}=\phi_{2m+2}=\pi/4+(m-1)*\pi/2$, nous donne un déterminant non nul de valeur 1. En revanche, la configuration équirépartie dans le plan (x,z), soit, $\theta_1=-\pi/2$, $\theta_2=\pi/2$ puis pour m de 2 à 4, $\phi_{2m+1}=0$, $\phi_{2m+2}=\pi$ et $\theta_{2m+1}=\theta_{2m+2}=(m-3)*\pi/4$, nous donne un déterminant nul (la matrice a notamment trois lignes nulles, celles qui correspondent à V₂ puisque $\forall l, \sin{\phi_l}=0$). Ce résultat est valable pour tout développement à un ordre supérieur à 1.