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II.10.1.5.4 Etude du coût.

Les trois sections précédentes (II.10.1.5.1, II.10.1.5.2 et II.10.1.5.3) ont abordé la question du coût du code ${\mathcal L}ior$ en terme qualitatif de temps de calcul. Nous étudions ici

a)
le nombre d'itérations à effectuer pour un critère de convergence fort ou faible, pour un balayage en fréquence ou angulaire. Pour chaque fréquence (ou chaque angle d'incidence) l'algorithme itératif converge selon le même critère d'évolution de la SER au cours des itérations. Notez la différence avec la situation de la figure II.10.16 où le nombre d'itérations est constant.
b)
le temps de calcul en fonction du nombre d'itérations, du nombre de fonctions de base, du type de la couche de matériau (vide, matériau absorbant ou non), du choix aléatoire ou constant des directions de propagation entre les éléments. Nous cherchons les droites de coût (tT) du code ${\mathcal L}ior$ en fonction du nombre d'itérations (Ni) effectuées par l'algorithme de résolution du système linéaire (une itération est effectuée en un temps t1) pour une incidence et une fréquence de calcul données, à l'exception des post-traitements (ces tâches sont effectuées en un temps t0). Ces droites sont d'équation

\begin{displaymath}t_{T} = t_{0} + N_i \times t_{1} \ . \end{displaymath}

Figure II.10.17: Cône, étude du rapport coût / précision en fonction du nombre d'itérations.
\includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{CONECTCK6TMIT.ps} \includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{COUTMateR.ps}
Itérations à partir d'une solution proche. Droite de coût selon le nombre de directions.
Pour ce faire, nous effectuons les simulations suivantes:
  1. La figure II.10.17 de gauche donne le nombre d'itérations effectuées par l'algorithme itératif de résolution du système linéaire pour un critère fort de convergence de l'algorithme itératif pour lequel on obtient une courbe très proche de celle de la figure II.10.14 à droite (point II.10.1.5.4 ci-dessus). La simulation est effectuée sur le cône revêtu de matériau absorbant pour 6 fonctions de base constantes et le balayage fréquentiel de la section II.10.1.5.3.
    Figure II.10.18: Cône, étude du coût d'un balayage fréquentiel pour peu d'itérations effectuées.
    \includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{CONECTCK6TMITCL.ps} \includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{CCTCK6BFCL.ps}
    Itérations à partir d'une solution éloignée. Balayage fréquentiel avec peu d'itérations.
  2. La figure II.10.18 de gauche étudie le nombre d'itérations du balayage fréquentiel pour un critère faible de convergence de l'algorithme (point II.10.1.5.4) pour les mêmes données que la figure II.10.17 de gauche.
  3. La figure II.10.18 de droite nous donne une idée de la précision du code ${\mathcal L}ior$ pour le critère faible de convergence par comparaison à la courbe obtenue par SHFC (point II.10.1.5.4) pour les mêmes données que la figure II.10.17 de gauche. Cette courbe est à comparer à la courbe II.10.14.
  4. La figure II.10.17 de droite donne les droites de coût du code ${\mathcal L}ior$ du point II.10.1.5.4 en fonction du nombre de directions de propagation. Les directions de la simulation sont aléatoires d'un élément à l'autre, la géométrie est celle du cône revêtu d'un matériau non absorbant.
    Figure II.10.19: Cône, droites de coût selon le type de fonctions et les caractéristiques du milieu.
    \includegraphics[width=0.46\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{COUTCKR.ps} \includegraphics[width=0.46\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{COUTVide.ps}
    Fonction du matériau, vide ou non. Type de directions, aléatoires ou constantes.
  5. La figure II.10.19 de gauche donne les droites de coût du code ${\mathcal L}ior$ du point II.10.1.5.4 en fonction des caractéristiques des couches recouvrant le cône: vide (comme section II.10.1.5.1), matériau absorbant (comme section II.10.1.5.3) ou non (comme section II.10.1.5.2 où les permittivité et perméabilité sont réelles). Les 6 directions de propagation sont aléatoires d'un élément à l'autre.
  6. La figure II.10.19 de droite donne les droites de coût du code ${\mathcal L}ior$ du point II.10.1.5.4 en fonction du choix de directions de propagation constantes ou aléatoires entre les éléments. La simulation est effectuée sur le cône revêtu de vide comme dans la section II.10.1.5.1.
    Figure II.10.20: Cône, SER d'un balayage angulaire pour peu d'itérations effectuées.
    \includegraphics[width=0.46\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{CONECTCK6TMBACL.ps} \includegraphics[width=0.46\columnwidth,height=0.42\columnwidth]{CCTCK6BACL.ps}
    Itérations à partir d'une solution éloignée. Balayage angulaire avec peu d'itérations.
  7. La figure II.10.20 de gauche étudie le nombre d'itérations du balayage angulaire pour un critère faible de convergence de l'algorithme (point II.10.1.5.4) avec les mêmes données que celles de la figure II.10.17 de gauche.
  8. La figure II.10.20 de droite nous donne une idée de la précision du code ${\mathcal L}ior$ pour le critère faible de convergence du balayage angulaire. En effet, nous avons observé lors du balayage fréquentiel (figure II.10.18 de droite) que les difficultés de convergence se traduisaient par des discontinuités dans la courbe de SER entre les fréquences, particulièrement pour celles où le nombre d'itérations effectuées était trop faible. De plus, nous avons constaté sur la figure II.10.18 de gauche que l'évolution de la SER bistatique en fonction du nombre d'itérations n'était pas très stable. Nous observons au contraire dans les courbes II.10.20 une évolution régulière de la SER bistatique du balayage angulaire en angle $\theta$ d'incidence (dans le plan (x,z)).

Nous avons cherché à compléter l'étude de coût du point II.10.1.5.4 par une étude par tâche effectuée par le code ${\mathcal L}ior$ et non plus globalement pour tout le code. Cette étude nous permettra de mieux comparer les coûts de chaque tâche du code, et non plus seulement la coût de l'algorithme itératif. Ceci nous permettra de prévoir les temps de calcul selon le balayage effectué et les caractéristiques de la discrétisation pour une géométrie donnée. Nous présentons les types de tâches effectuées dans le tableau II.10.8 qui affecte un numéro à chacune des tâches essentielles du programme. Les coûts de ces tâches sont consignés dans les figures II.10.21. La figure II.10.21 de gauche évalue les coûts des différentes tâches en fonction du nombre de fonctions de base, la figure II.10.21 de droite compare, pour 6 directions de propagation, les coûts à la fois en fonction du type de matériau (vide ou non) et en fonction du choix aléatoire ou constant des directions entre les éléments.

Remarque 47   Dans le tableau II.10.8 la tâche numéro 5 consiste essentiellement à assembler le second membre sur les portions de faces non traitées, la tâche 4 ayant déjà calculé le second membre pour les trois premiers sommets des faces quadrangulaires. La tâche 4 calcule aussi le produit D-1b et les caractéristiques de l'onde incidente. Nous constatons que le temps de calcul du second membre est négligeable par rapport au calcul du simple produit matrice vecteur D-1b.


Tableau II.10.8: Cône, étude du coût par tâche.
Numéro Tâche
1 Place mémoire en Méga-Words.
2 Lecture des données, initialisation, calcul des normales, divers.
3 Construction des polarisations et directions de propagation.
4 Temps hors itérations de 100 balayages angulaires pour des tétraèdres.
5 Idem, coût supplémentaire au coût de la tâche 4 pour des hexaèdres (pour 100 balayages angulaires).
6 Temps de 2 assemblages des matrices du système linéaire pour des tétraèdres.
7 Coût supplémentaire à celui de la tâche 6 pour des hexaèdres (pour 2 assemblages des matrices).
8 Coût supplémentaire à ceux des tâches 6 et 7 pour effectuer 2 balayages en fréquence.
9 Temps du post-traitement pour une fréquence et une incidence
10 Coût supplémentaire à celui de la tâche 9 pour des hexaèdres.
11 Coût de 100 itérations de l'algorithme itératif.
12 Coût total d'un calcul à une fréquence et une incidence sans itération et sans post-traitement
13 Idem avec 100 itérations de l'algorithme itératif.

Figure II.10.21: Cône, étude du coût par tâche.
\includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.45\columnwidth]{COUTbisMatR369.ps} \includegraphics[width=0.48\columnwidth,height=0.45\columnwidth]{COUTbisRKMV.ps}
En fonction du nombre de directions aléatoires sur le cône avec matériau. Selon le type de fonctions, directions aléatoires ou constantes et pour le cône revêtu ou non.
Nous constatons les points suivants.
  1. Imposer un critère de convergence élevé à l'algorithme itératif pour des balayages en fréquence ne permet pas de réduire fortement les temps de calcul du code ${\mathcal L}ior$.
  2. Imposer un critère de convergence faible à l'algorithme itératif pour des balayages en fréquence dégrade la précision du code ${\mathcal L}ior$.
  3. Imposer un critère de convergence faible à l'algorithme itératif pour des balayages angulaires ne dégrade pas la précision du code ${\mathcal L}ior$ et réduit considérablement le temps de calcul.
  4. L'augmentation du nombre de directions de propagation est néfaste au temps de calcul qui est proportionnel au carré du nombre de fonctions de base dans la plupart des étapes du code ${\mathcal L}ior$ en dehors des étapes de post-traitement de calcul de la SER ou des valeurs aux n\oeuds.
  5. L'utilisation de matériaux réels ou complexes est indifférent sur le temps de calcul, en revanche un calcul sur un élément dans un matériau implique un coût double par rapport à un calcul dans le vide.
  6. Le choix de directions qui diffèrent d'un élément à l'autre, plus coûteux pour l'assemblage de la matrice du système linéaire, ne change rien à l'évolution du coût en fonction du nombre d'itérations.


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Cessenat Olivier 2007-04-21