II.8.3.2.1 Choix des directions de propagation de référence.

Nous donnons des directions de référence des fonctions de base qui serviront dans le choix final des directions. Nous avons choisi de prendre en priorité des directions équiréparties, sinon le découpage S_n de la sphère, sinon des directions qui nous semblent assez bien découper la sphère, et enfin nous proposons un algorithme général de choix des directions, algorithme qu'il serait intéressant d'améliorer à l'avenir.

i) Equiréparties.

Dans certains cas, nous avons pu choisir des directions équiréparties dans l'espace. Pour trois fonctions de base les directions forment un triangle équilatéral dans le plan équatorial. Pour quatre, un tétraèdre régulier. Pour six, deux tétraèdres réguliers assemblés par une face. Pour huit, un cube. Pour douze on a pris les nuds de l'icosaèdre.

ii) Découpage S_n de la sphère en n(n+2) directions.

Ce découpage est bien connu des neutroniciens. Il consiste à effectuer un découpage de l'espace des phases $(\phi,\mu)$ où la quantité $\mu$ est liée à l'angle $\theta$ par $\mu=\cos{\theta}$. Les angles $(\theta,\phi)$ donnent les coordonnées d'un point de la sphère unité dans un repère cartésien par $(\sin{\theta}\cos{\phi},\sin{\theta}\sin{\phi},\cos{\theta})$. L'espace des phases $(\phi,\mu)$ est donc le quadrilatère $[0,\pi]\times[-1,+1]$. L'avantage de cette répartition est qu'elle découpe l'espace des phases en quadrangles d'aires égales. Les neutroniciens l'utilisent pour des propriétés de quadratures des moments du vecteur courant $\vec{\bf\Omega}$ défini par

$$(\sqrt{1-\mu^2}\cos{\phi},\sqrt{1-\mu^2}\sin{\phi},\mu) \ .$$

Ce découpage nous a semblé assez bien ``équiréparti'' au sens qu'il produit une partition quadrangulaire de la sphère unité qui est assez régulière. Nous renvoyons aux ouvrages de neutronique qui utilisent ce découpage pour des explications plus précises, nous ne donnons ici que le tableau (II.8.1) de construction des directions V_m,l de la demi-sphère unité. L'indice m correspond à une latitude, l'indice l à une longitude.

Tableau II.8.1: Récapitulatif du découpage S_n.

	$1\le m \le \frac{n}{2}$	$\frac{n}{2} < m \le n$
$\mu_m$	$\left(\frac{4m^2}{n(n + 2)} - 1\right)\sqrt{\frac{n(n + 2)}{n(n+ 2) - 2}}$	$\left(-\frac{4(n + 1 - m)^2}{n(n + 2)} + 1\right)\sqrt{\frac{n(n + 2)}{n(n+ 2) - 2}}$
	$1\le l \le 2m$	$1 \le l \le 2(n + 1 - m)$
$\phi_{m, l}$	$\pi \left(1 - \frac{2l - 1}{4m}\right)$	$\pi \left(1 - \frac{2l - 1}{4(n + 1 - m)}\right)$

La figure (II.8.1) représente le découpage pour n=16 (image Guillaume Pottier). Les directions sont proches des barycentres des quadrangles.

Figure II.8.1: Découpage S_n=16 de la sphère unité.

iii) Construction ``à la main''.

Pour des nombres différents de fonctions de base, nous avons pris dans certains cas des directions construites à la main. Ainsi, pour cinq fonctions de base, nous avons pris les trois fonctions équiréparties du cas ci-dessus, puis nous avons rajouté les deux pôles. Pour sept fonctions nous avons pris celles du tétraèdre régulier plus celles du plan équatorial de façon à former, vu de dessus, un point à l'origine et deux triangles obtenus l'un de l'autre par homothétie et symétrie par rapport à l'origine. Pour neuf fonctions nous avons pris les trois directions du plan équatorial auxquelles nous avons rajouté trois fonctions dans un plan parallèle à une latitude de 45 degrés dans un repère terrestre. Ces directions forment un triangle équilatéral dans leur plan et leur projection sur le plan équatorial est un triangle aux côtés parallèles aux côtés du triangle du plan équatorial, mais par les faces les plus éloignées. Les trois dernières directions sont symétriques par rapport au plan équatorial. Enfin pour vingt fonctions nous avons pris les nuds du dodécahèdre sachant qu'ils ne forment pas un maillage équiréparti de la sphère.

iv) Génération automatique non équirépartie.

Pour d'autres nombres de fonctions de base nous construisons les directions par un algorithme qui, asymptotiquement, donne des directions équiréparties. Nous prenons le pôle Nord et le pôle Sud puis un nombre N pour l'instant inconnu de fonctions de base aux directions équiréparties dans le plan équatorial. A une latitude d'angle $\phi$ égal à (N/4)*4 (division entière) fois l'angle entre deux directions consécutives du plan équatorial nous prenons un nombre $[N*\cos{(\phi)}]$ (rappelons que $[\alpha]$ est le symbole partie entière de $\alpha$) de directions équiréparties dans leur plan. Cet algorithme permet une anisotropie polaire faible par rapport à un simple maillage quadrangulaire en latitude-longitude, pôles exclus. En même temps que nous construisons les directions de l'hémisphère Nord nous construisons les directions symétriques de l'hémisphère Sud. Nous ne tombons pas forcément sur exactement le bon nombre de fonctions de base. Nous calculons d'abord le nombre N donnant le plus petit nombre de directions construites par l'algorithme supérieur au nombre de fonctions de bases demandé. Nous stoppons ensuite le procédé lorsque le nombre demandé est atteint ce qui peut créer une légère anisotropie supplémentaire aux pôles. Par exemple pour 17 fonctions de base demandées l'algorithme est prêt à en constituer 20. Pour 40 l'algorithme serait pleinement efficace pour 44. A la place de 90 fonctions il serait mieux d'en demander 95, pour 200 ce serait 203 et 800 ce serait 814. La figure II.8.2 pour 300 directions est typique: en coupe équatoriale nous observons un ``trou'' aux deux pôles dans les répartitions des directions. C'est le problème de la couche d'ozone...