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III.E.2.0.3 Lemmes techniques.

Lemme 37   Soient N vecteurs $w_n \in {\mathbb{C}}^N$ et
(III.E.17) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil...
...1}^{N}{\lambda_n [\overline{w_n} {w_n}^{\top}] } \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

alors,
(III.E.18) \begin{displaymath}%
\mbox{det} D =
\frac{\displaystyle \vert\xi\vert^2}{\displaystyle \alpha^N} \left( \prod_{n=1}^{N}{\lambda_n} \right)
\end{displaymath}

avec, dans toute cette section,
(III.E.19) \begin{displaymath}%
\xi=((w_{n})_{n=1 \ldots N})_{mixte} \ .
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 38004\begin{enumerate}
\item On construit...
...eft( \prod_{n=1}^{N}{\lambda_n} \right)
\end{equation}\end{enumerate}\end{proof}

Remarque 57   Si
(III.E.20) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil...
...lpha} \sum_{n=1}^{N}{\lambda_n [w_n {w_n}^{*}] } \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

alors
(III.E.21) \begin{displaymath}%
\mbox{det} D =
\frac{\displaystyle \vert\xi\vert^2}{\displaystyle \alpha^N} \left( \prod_{n=1}^{N}{\lambda_n} \right)
\end{displaymath}

Nous pouvons maintenant commencer la preuve du théorème 20.

Proposition 16   Les termes de la matrice limite Dkr sont donnés par les termes Dl,m (nous omettrons l'indice k de l'élément) pour $(l,m) \in \{1,2,3,4 \}^2$ tels que
(III.E.22) \begin{displaymath}
D^{l,m} \approx \frac{\displaystyle \omega^2}{\displaystyle ...
...(1-\vec{\nu}_n \, \vec{v}_{m})(1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{l})} \ ,
\end{displaymath}

ou, directement, par les termes Dl,mr tels que
(III.E.23) \begin{displaymath}%
D^{l,m}_r=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \sum_{n-1...
...(1-\vec{\nu}_n \, \vec{v}_{m})(1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{l})} \ .
\end{displaymath}

Dans toute la suite, le terme Dl,m sera considéré égal à la formule (III.E.51), puisque Dl,m/h a une limite.

On pose:

(III.E.24) \begin{displaymath}%
\vec{w}_n = \left(
\begin{array}{l}
1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_...
...ec{v}_{3} \\
1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{4} \\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

alors:
(III.E.25) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfi...
...3D_3+S_4D_4) \cr
& D_n = [\vec{w}_n\otimes\vec{w}_n]
\crcr}}\,
\end{displaymath}

On pose en outre dans toute cette section:
(III.E.26) \begin{displaymath}
\xi=(\vec{w}_1,\vec{w}_{2},\vec{w}_{3},\vec{w}_{4})_{mixte}
\end{displaymath}

a) Simplification du déterminant de D.

Lemme 38   On a:
(III.E.27) \begin{displaymath}
\mbox{det} D =
\frac{\displaystyle \omega^8}{\displaystyle 1...
...4.
(\vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3},\vec{w}_{4})_{mixte}^2
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 38179Il suffit d'utiliser le lemme \ref{l...
...etdresul.05} avec $\lambda_n=S_n$\ et $\alpha=\omega^2/2$\ et $n=4$.
\end{proof}

b) Découplage du déterminant en la géométrie et les fonctions de base.

Lemme 39   On note toujours $\xi = (\vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3},\vec{w}_{4})_{mixte}$, comme en (III.E.55). Alors:
(III.E.28) \begin{displaymath}
\xi = -\frac{\displaystyle S}{\displaystyle S_4} (\vec{\nu}_...
...v_{4}^1 &
v_{4}^2 &
v_{4}^3 &
1 \\
\end{array}\right\vert
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 38219Par d\'efinition
\begin{displaymath}...
...ation.d3adetddecou.009}),
on tire (\ref{equation.d3adetddecou.003}).
\end{proof}

c) Optimisation du déterminant.

Lemme 40   On pose:
(III.E.29) \begin{displaymath}
h(\theta,\phi) = \left\vert
\begin{array}{llll}
v_{1}^1 &
...
...v_{4}^1 &
v_{4}^2 &
v_{4}^3 &
1 \\
\end{array}\right\vert
\end{displaymath}

Alors $\vert h(\theta,\phi)\vert$ est maximal pour des vecteurs $\vec{v}_{n}$ formant un tétraèdre régulier. On a:
(III.E.30) \begin{displaymath}
\mbox{\fbox{
$\vert h(\theta,\phi)\vert = \frac{\displaystyle 16\sqrt{3}}{\displaystyle 9}
$}}
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 38541\begin{description}
\item[i)] Le pro...
...onne la relation (\ref{equation.d3adetdmaxim.005}).
\end{description}\end{proof}

Lemme 41   Soit V le volume du tétraèdre. Alors:
(III.E.31) \begin{displaymath}
S_1S_2S_3(\vec{\nu}_{1},\vec{\nu}_{2},\vec{\nu}_{3})_{mixte}= \frac{36}{8} \times V^2
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 38767
%\ital{ du lemme \ref{lemma.d3adetdf...
...on.d3adetdfinpr.011}), on obtient (\ref{equation.d3adetdfinpr.003}).
\end{proof}

d) Récapitulatif et fin du calcul du déterminant.

Théorème 21   Des ondes planes équiréparties assurent le meilleur conditionnement de la matrice D: Le déterminant de la matrice limite D est maximal pour un choix d'ondes planes aux vecteurs d'onde équirépartis dans le plan. Il vaut alors:
(III.E.32) \begin{displaymath}
\mbox{\fbox{$\mbox{det} D = 12 \omega^8 \frac{\displaystyle S^2V^4}{\displaystyle S_1S_2S_3S_4}
$}}
\end{displaymath}

S et V sont respectivement la surface et le volume du tétraèdre, (S1,S2,S3,S4) les quatre surfaces des faces.


\begin{proof}
% latex2html id marker 38883On note toujours $\xi = (\vec{w}_{1}...
...uation}d'o\\lq u l'on tire la relation \ref{equation.d3adetdfinpr.013}.
\end{proof}

e) Majoration du conditionnement.

Théorème 22   Des ondes planes équiréparties assurent la majoration suivante du conditionnement des matrices D et Dr:
(III.E.33) \begin{displaymath}%
\mbox{\fbox{$\frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaysty...
...\displaystyle 48}{\displaystyle \pi} \right)^4 \sigma^{12}
$}}
\end{displaymath}

S et V sont respectivement la surface et le volume du tétraèdre, (S1,S2,S3,S4) les quatre surfaces des faces. Cette majoration est obtenue pour un élément régulier, c'est-à-dire vérifiant les hypothèses de régularité H1, H2 et H3 de la section I.2.1.2.


\begin{proof}
% latex2html id marker 38972On note $\lambda_{min}$\ et $\lambda...
...laystyle \pi} \right)^4 \sigma^{12} \ .
\end{equation}\end{enumerate}\end{proof}

Remarque 58   Il est trivial de remarquer que la matrice limite ( $h \rightarrow 0$) avec cinq fonctions de base ou plus (p) n'est pas inversible. En effet la nouvelle matrice D obtenue s'écrira toujours sous la forme:

\begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil...
...3D_3+S_4D_4) \cr
& D_n = [\vec{w}_n\otimes\vec{w}_n]
\crcr}}\,
\end{displaymath}

mais:

\begin{displaymath}
\vec{w}_n = \left(
\begin{array}{lll}
1-\vec{\nu}_n.\vec{v}...
...4} \\
\vdots \\
1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{p}
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Le rang de la matrice D est au plus de quatre, pour une matrice de taille p x p.


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Cessenat Olivier 2007-04-21