III.B.1.3.1 Calcul de la matrice D.

Nous notons D^k,j_l,m la contribution de la face $\Sigma_{k,j}$ pour le calcul de D_k^l,m dans (II.8.6). On a alors, pour $1 \le l,m \le L=2p$, à l'aide des notations (III.B.3) et (III.B.12),

$$D^{k,j}_{l,m} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{\... ...,k}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}} \,d\,{{\mathbf X}}$$ (III.B.18)

soit, par définition de f_k,k^l,m (III.B.7),

$$D^{k,j}_{l,m} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{\... ...}_{k,m}^0 \overline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^0 f_{k,k}^{l,m} \ .$$ (III.B.19)

Nous savons calculer analytiquement le terme f_k,k^l,m par la formule (III.B.8). Il reste à calculer la matrice hermitienne D⁰ donnée par

$$D^{0}_{l,m} = {{\mathcal{Z}}}_{k,m}^0 \overline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^0$$ (III.B.20)

pour $1\le l,m \le 2p$. Cette matrice est constituée de quatre blocs selon les valeurs des indices par rapport à p. Dans les formules énumérées ci-dessous, les indices l et m sont tels que $1\le l,m \le p$.

1. Le bloc supérieur gauche des fonctions de type <I>F, termes D⁰_l,m, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.21)

   
   

2. Le bloc supérieur droit des produits scalaires de types (<I>F,<I>G), termes D⁰_l,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.22)

   
   
   ou, d'après la remarque 49, par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.23)

   
   
   Si $\varepsilon =\mu=1$ sur $\Omega _k$ et $\Omega_j$ alors
   

   $$% D^{0}_{l,m+p} = 0 \ .$$ (III.B.24)

   
   

3. Le bloc inférieur droit des fonctions de type <I>G, termes D⁰_l+p,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.25)

   
   
   D'après la remarque 49, on peut exprimer D_l+p,m+p en fonction de <I>F_k,l et <I>F_k,m:
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...k,m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k } \right) \cr \crcr}}\,$$ (III.B.26)

   
   
   ce qui montre que si $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels sur $\Omega _k$ alors
   
   $$D^{0}_{l+p,m+p} = \overline{D^{0}_{l,m}} \ .$$