III.B.1.3.2 Calcul de la matrice C.

i)

Rappelons que la contribution de l'interface interne $\Sigma_{k,j\ne k}$ dans la matrice de couplage non hermitien C (II.8.7) est donnée par

$$C^{k,j}_{l,m} = \int_{\Sigma_{k,j}} \frac{\displaystyle 1}{\... ...{Z}}}_{j,m} \overline{F{{\mathcal{Z}}}}_{k,l} d\,{{\mathbf X}}$$ (III.B.27)

On a alors, pour $1 \le l,m \le L=2p$, à l'aide des notations (III.B.3), (III.B.12) et (III.B.16),

$$C^{k,j}_{l,m} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{\... ...,j}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}} \,d\,{{\mathbf X}}$$ (III.B.28)

soit, par définition de f_k,j^l,m (III.B.6),

$$% C^{k,j}_{l,m} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{... ...}_{j,m}^0 \overline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^1 f_{k,j}^{l,m} \ .$$ (III.B.29)

Nous savons calculer analytiquement le terme f_k,j^l,m par la formule (III.B.8). Il reste à calculer la matrice C⁰ donnée par

$$C^{0}_{l,m} = {{\mathcal{Z}}}_{j,m}^0 \overline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^1$$

pour $1\le l,m \le 2p$. Cette matrice est constituée de quatre blocs selon les valeurs des indices par rapport à p. Nous calculons C⁰ par les formules qui suivent en faisant varier les indices l et m de 1 à p.

1. Le bloc supérieur gauche des fonctions de type <I>F, termes C⁰_l,m, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.30)

   
   

2. Le bloc supérieur droit des couplages des fonctions de type <I>F avec les fonctions de type <I>G, termes C⁰_l,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.31)

   
   
   et, lorsque $\varepsilon =\mu=1$ sur $\Omega _k$ et $\Omega_j$, on a
   

   $$% C^{0}_{l,m+p} = 0 \ .$$ (III.B.32)

   
   

3. Le bloc inférieur gauche des couplages des fonctions de type <I>G avec les fonctions de type <I>F, termes C⁰_l+p,m, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...l} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.33)

   
   
   et, lorsque $\varepsilon =\mu=1$ sur $\Omega _k$ et $\Omega_j$, on a
   

   $$% C^{0}_{l,m+p} = 0 \ .$$ (III.B.34)

   
   

4. Le bloc inférieur droit des fonctions de type <I>G, termes C⁰_l+p,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.35)

   
   
   D'après la remarque 49 on peut exprimer C_l+p,m+p en fonction de <I>F_k,l et <I>F_j,m:
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ... \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k } \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.36)

   
   
   ce qui montre que, si $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels sur $\Omega _k$ et $\Omega_j$, alors
   
   $$C^{0}_{l+p,m+p} = \overline{C^{0}_{l,m}} \ .$$
   
   

ii)

La contribution de la face de bord $\Sigma_{k,k}$ dans la matrice de couplage non hermitien C (II.8.8) est

$$% C^{k,k}_{l,m} = \int_{\Sigma_{k,k}} {{\mathit Q}}_k \frac{\... ...}}_{k,m} \overline{F{{\mathcal{Z}}}}_{k,l} d\,{{\mathbf X}}\ .$$ (III.B.37)

Alors, pour $1 \le l,m \le L=2p$, à l'aide des notations (III.B.3), (III.B.12) et (III.B.16), on déduit que

$$C^{k,k}_{l,m} = {{\mathit Q}}_k \frac{\displaystyle 1}{\disp... ...{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}} \,d\,{{\mathbf X}}\ ,$$ (III.B.38)

où l'on reconnaît le terme f_k,k^l,m (III.B.7), que nous savons calculer analytiquement par la formule (III.B.8). Il reste à calculer le bloc C⁰ donné par

$$C^{0}_{l,m} = {{\mathcal{Z}}}_{k,m}^0 \overline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^1$$

pour $1\le l,m \le 2p$. Pour $1\le l,m \le p$, nous calculons C⁰ par les formules ci-dessous.

1. Le bloc supérieur gauche des fonctions de type <I>F, termes C⁰_l,m, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.39)

   
   
   et, lorsque $\varepsilon =\mu=1$ sur $\Omega _k$, on a
   

   $$% C_{l,m} = 0 \ .$$ (III.B.40)

   
   

2. Le bloc supérieur droit des couplages des fonctions de type <I>F avec les fonctions de type <I>G, termes C⁰_l,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.41)

   
   
   D'après la remarque 49, on peut exprimer C⁰_l,m+p en fonction de <I>F_k,l et <I>F_k,m. On a en effet
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.42)

   
   

3. Le bloc inférieur gauche des couplages des fonctions de type <I>G avec les fonctions de type <I>F, termes C⁰_l+p,m, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...l} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.43)

   
   
   ce qui montre que, si $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels sur $\Omega _k$, alors
   
   $$C^{0}_{l+p,m} = \overline{C^{0}_{l,m+p}} \ .$$
   
   

4. Le bloc inférieur droit des fonctions de type <I>G, termes C⁰_l+p,m+p, se calcule par
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...m} \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.44)

   
   
   D'après la remarque 49, on peut exprimer C⁰_l+p,m+p en fonction de <I>F_k,l et <I>F_k,m:
   

   $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ... \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k } \right) \ , \cr \crcr}}\,$$ (III.B.45)

   
   
   et, lorsque $\varepsilon =\mu=1$ sur $\Omega _k$, on a
   
   $$C^{0}_{l+p,m+p} = 0 \ .$$