III.B.2.3.2 Un calcul possible des champs électrique et magnétique sur les arêtes du maillage.

Nous présentons des formules de calcul des traces des champs sur les arêtes du maillage, formules qui présentent l'avantage d'être facilement calculables informatiquement et qui sont une alternative au calcul précédent (formules (III.B.67) et (III.B.68)) qui utilisait l'opérateur de divergence surfacique.

En effet, on peut approcher les traces de <I>E et <I>H sur une arête quelconque du maillage par une combinaison linéaire des traces tangentielles sur les faces contenant cette arête.

Supposons connues les traces tangentielles suivantes sur les faces $\Sigma_{k,j_2}$ et $\Sigma_{k,j_2}$:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...wedge \nu_{k,j_2} \right) \wedge \nu_{k,j_2} \ . \cr \crcr}}\,$$

En supposant la continuité de <I>E_h entre $\Sigma_{k,j_2}$ et $\Sigma_{k,j_1}$, on peut calculer

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...j_1}} \wedge \nu_{k,j_2}) \wedge \nu_{k,j_2} \ , \cr \crcr}}\,$$

or, on remarque que l'on a trivialement,

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...wedge \nu_{k,j_1} \right) \wedge \nu_{k,j_1} \ , \cr \crcr}}\,$$

donc, en remplaçant dans la première équation ci-dessus <I>E_h par sa valeur donnée dans la deuxième, on a

$$({{\mathbf E}}_h \wedge \nu_{k,j_2}) \wedge \nu_{k,j_1}=({{\... ...mathbf E}}_h \wedge \nu_{k,j_1} \right) \wedge \nu_{k,j_1} \ ,$$

et en projetant sur $\nu_{k,j_2}$ :

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...\nu_{k,j_1}} \, . \, {\nu_{k,j_2}}\right)^2} \ . \cr \crcr}}\,$$

Finalement, on peut calculer $({{\mathbf E}}_h)_{\vert\Sigma_{k,j_1}\cap \Sigma_{k,j_2}}$ par

$${{\mathbf E}}_h = \frac{\displaystyle \left({\nu_{k,j_1}} \,... ...tyle 1-\left({\nu_{k,j_1}} \, . \, {\nu_{k,j_2}}\right)^2} \ ,$$ (III.B.71)

ou par

$$% {{\mathbf E}}_h = \frac{\displaystyle {{\mathbf E}}_h \wedg... ...{\displaystyle \vert\nu_{k,j_1} \wedge \nu_{k,j_2}\vert^2} \ .$$ (III.B.72)

Remarque 51   L'intérêt de ce calcul est de ne pas effectuer une dérivation supplémentaire pour le calcul des traces normales. Remarquons que ce calcul est toujours possible étant donné que $\nu_{k,j_1}=\nu_{k,j_2}$ correspond à un tétraèdre qui aurait deux faces contigües dans le même plan, alors qu'un tétraèdre est toujours convexe. Avec d'autres éléments, il faudrait imposer leur convexité pour que la formule (III.B.71) soit toujours applicable. En termes de précision, éviter la dérivation est une bonne chose, mais nous remplaçons ce calcul par un calcul de trace aux bords des faces, ce qui nous fait aussi perdre en termes d'ordre de convergence.

Remarque 52   On peut effectuer le calcul des valeurs aux nuds par la somme

$$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...tyle \vert\nu_{k,j_3} \wedge \nu_{k,j_1}\vert^2} \cr \crcr}}\,$$ (III.B.73)

où j₁, j₂ et j₃ sont les indices des trois éléments voisins de $\Omega _k$ et ayant le nud considéré - pour un nud interne au maillage.