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III.B.2.3.1 Calcul des traces normales par dérivation des traces tangentielles sur les faces du maillage.

En supposant que <I>Eh et <I>Hh vérifient les équations (III.B.59 p. [*]), on a

(III.B.65) \begin{displaymath}%
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\st...
...{\displaystyle i\omega \varepsilon } \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Dans un repère orthonormé direct local à une face $\Sigma_{kj}$ orientée par la normale, on aura
(III.B.66) \begin{displaymath}%
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\st...
...splaystyle i\omega \varepsilon _{k}} \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Or, pour tout vecteur <I>E on a $({{\mathbf E}} \wedge \nu )_x=+{{\mathbf E}}_y$ et $({{\mathbf E}} \wedge \nu )_y=-{{\mathbf E}}_x$, donc dans un repère orthonormé direct orthogonal à la normale sortante $\nu_{k,j}$, on a

\begin{displaymath}
\frac{\displaystyle \partial{{{\mathbf E}}^h_y}}{\displaysty...
....}\nolimits _{\Sigma_{kj}}{({{\mathbf E}}_h \wedge \nu_{k,j})}
\end{displaymath}

puisque la composante de ${{\mathbf E}}_h \wedge \nu_{k,j}$ selon le troisième axe est nulle dans le repère choisi. D'autre part, remarquons que la divergence ne dépend pas du repère orthonormé direct choisi; on peut donc écrire:
(III.B.67) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
..._{k,j} }{\displaystyle i\omega \mu_{k}}\nu_{k,j} \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

et, comme $\left( {{\mathbf H}}_h \wedge \nu_{k,j} \right) \wedge \nu_{k,j} \wedge \nu_{k,j}=-{{\mathbf H}}_h \wedge \nu_{k,j}$, on a aussi
(III.B.68) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...playstyle i\omega \varepsilon _{k}}\nu_{k,j} \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

Remarque 49   Une telle approximation exige le calcul d'une fonction dérivée, ce qui fait baisser l'ordre d'approximation par rapport au calcul des traces tangentielles.

Remarque 50   Pour tout vecteur <I>E, on a ${{\mathbf E}}= \left({{{\mathbf E}}} \, . \, {\nu}\right) \nu -{{\mathbf E}} \wedge \nu $, ce qui montre que l'on peut reconstruire les champs <I>E et <I>H sur les arêtes du maillage. On a
(III.B.69) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...H}}_h \wedge \nu_{k,j} \right) \wedge \nu_{k,j}) \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

et
(III.B.70) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...}}\nu_{k,j}-{{\mathbf E}}_h \wedge \nu_{k,j} \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}


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Cessenat Olivier 2007-04-21